Choix d’un repère – Droites parallèles
$ ABCD $ est un carré. $ M $ est le milieu de $ \left[AB\right] $ et $ N $ le milieu de $ \left[DC\right] $.
On cherche à montrer que les droites $ \left(DM\right) $ et $ \left(BN\right) $ sont parallèles. Pour cela, on se place dans le repère orthonormé $ \left(A ; B , D\right) $.
- Quelles sont les coordonnées de $ A, B, C, D, M, N $ dans ce repère.
- Donner l'équation réduite de la droite $ \left(BN\right) $
- Donner l'équation réduite de la droite $ \left(DM\right) $
- Conclure.
Corrigé
Compte tenu du choix du repère, les points $ A, B, C, D $ ont comme coordonnées :
$ A\left(0 ; 0\right) ; B\left(1 ; 0\right) ; C\left(1; 1\right) ; D\left(0 ; 1\right) $
$ M $ est le milieu de $ \left[AB\right] $ donc :
$ x_{M}=\dfrac{x_{A}+x_{B}}{2}=\dfrac{1}{2} $
$ y_{M}=\dfrac{y_{A}+y_{B}}{2}=0 $
$ N $ est le milieu de $ \left[CD\right] $ donc :
$ x_{N}=\dfrac{x_{C}+x_{D}}{2}=\dfrac{1}{2} $
$ y_{N}=\dfrac{y_{C}+y_{D}}{2}=1 $
Les coordonnées de $ M $ et $ N $ sont donc :
$ M\left(\dfrac{1}{2} ; 0\right) ; N\left(\dfrac{1}{2} ; 1\right) $
- Le coefficient directeur de la droite $ \left(BN\right) $ est :
$ m=\dfrac{y_{N} - y_{B}}{x_{N} - x_{B}} = \dfrac{1}{ - 0,5}= - 2 $
L'équation de $ \left(BN\right) $ est donc de la forme $ y= - 2x+p $
Comme $ B \in \left(BN\right) $ :
$ 0= - 2\times 1+p $ soit $ p=2 $.
L'équation de la droite $ \left(BN\right) $ est donc $ y= - 2x+2 $ - Le coefficient directeur de la droite $ \left(DM\right) $ est :
$ m=\dfrac{y_{M} - y_{D}}{x_{M} - x_{D}} = \dfrac{ - 1}{0,5}= - 2 $
Comme la droite $ \left(DM\right) $ passe par le point $ D\left(0;1\right) $, son ordonnée à l'origine est $ 1 $.
L'équation de la droite $ \left(DM\right) $ est donc $ y= - 2x+1 $ - Les droites $ \left(BN\right) $ et $ \left(DM\right) $ ont le même coefficient directeur donc elles sont parallèles.