Fonction homographique ou non

Pour chacune des fonctions c-dessous :

Corrigé

$ f $ est définie si et seulement si $ x+1\neq 0 $, c'est à dire $ x\neq - 1 $. Son ensemble de définition est :

$ D_{f}=\mathbb{R}\backslash\left\{ - 1\right\} $

$ f $ est de la forme $ x\mapsto \dfrac{ax+b}{cx+d} $ avec $ a=0, b=1, c=1\left(\neq 0\right), d=1 $ et $ ad - bc= - 1\neq 0 $ : donc $ f $ est une fonction homographique.
$ g $ est définie lorsque $ x - 1\neq 0 $, c'est à dire $ x\neq 1 $. L'ensemble de définition de $ g $ est :

$ D_{f}=\mathbb{R}\backslash\left\{1\right\} $

$ g $ n'est pas une fonction homographique (à cause du terme $ x^{2} $ au numérateur).
$ h $ est définie si et seulement si $ x+2\neq 0 $, c'est à dire $ x\neq - 2 $. Son ensemble de définition est :

$ D_{h}=\mathbb{R}\backslash\left\{ - 2\right\} $

$ h $ est de la forme $ x\mapsto \dfrac{ax+b}{cx+d} $ mais $ ad - bc=0 $ donc $ h $ n'est pas une fonction homographique.

En fait pour $ x\neq - 2 $, $ h\left(x\right) $ se simplifie :

$ h\left(x\right)=\dfrac{2x+4}{x+2}=\dfrac{2\left(x+2\right)}{x+2}=2 $

$ h $ est donc une fonction constante sur $ \mathbb{R}\backslash\left\{ - 2\right\} $.