Sur la figure ci-dessus $ABC$ est un triangle isocèle en $C$, de base $AB= 4$ mètres et de hauteur $1$ mètre.
$P$ est un point de $\left[AC\right]$ et $PQRS$ est un rectangle.
Où faut-il placer le point $P$ pour que l’aire du rectangle $PQRS$ soit maximale ? Justifier votre réponse.
Corrigé
Traçons la hauteur $\left[CH\right]$ et notons $PS=x$
Les droites $\left(CH\right)$ et $\left(PS\right)$ sont parallèles donc d’après le théorème de Thalès :
$\dfrac{PS}{HC}=\dfrac{AS}{AH}$
$\dfrac{x}{1}=\dfrac{AS}{2}$
Par conséquent : $AS=2x$
$SH=AH – AS=2 – 2x$ et $SR=2SH=4 – 4x$
L’aire du rectangle $PQRS$ est donc :
$\mathscr A=SR\times PS=x\left(4 – 4x\right)= – 4x^{2}+4x$
C’est une fonction polynôme du second degré dont la courbe représentative est une parabole en forme de « U inversé ». Le sommet de cette parabole est atteint pour $x= – \dfrac{b}{2a}= – \dfrac{4}{ – 8}=\dfrac{1}{2}$.
On a alors $\dfrac{AP}{AC}=\dfrac{PS}{CH}=\dfrac{1}{2}$ donc $AP=\dfrac{1}{2}AC$
$P$ est alors le milieu du segment $\left[AC\right]$
L’aire du rectangle $PQRS$ est donc maximale lorsque $P$ est le milieu du segment $\left[AC\right]$.