Fonction affine et alignement

Les égalités $ f\left( - 1\right)= - 2 $, $ f\left(3\right)=2 $ et $ f\left(1\right)=1 $ signifient que la courbe représentative de $ f $ passe par les points $ A\left( - 1 ; - 2\right), B\left(3 ; 2\right) $ et $ C\left(1 ; 1\right) $.

Pour que $ f $ soit affine, il est nécessaire que les points $ A, B $ et $ C $ soient alignés.

Le graphique ci dessous montre que ce n'est pas le cas :

On peut vérifier ce résultat par le calcul, en déterminant les coefficients directeurs des droites $ \left(AB\right) $ et $ \left(AC\right) $ par exemple.

Le coefficient directeur de la droite $ \left(AB\right) $ est (voir Coefficient directeur d'une droite) :

$ a = \dfrac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}} = \dfrac{2 - \left( - 2\right)}{3 - \left( - 1\right)}=\dfrac{4}{4}=1 $

Le coefficient directeur de la droite $ \left(AC\right) $ est

$ a^{\prime} = \dfrac{y_{C} - y_{A}}{x_{C} - x_{A}} = \dfrac{1 - \left( - 2\right)}{1 - \left( - 1\right)}=\dfrac{3}{2} $

Ces coefficients sont différents donc les droites $ \left(AB\right) $ et $ \left(AC\right) $ sont distinctes et les points $ A, B $ et $ C $ ne sont pas alignés.

Par conséquent, il n'existe pas de fonction affine vérifiant $ f\left( - 1\right)= - 2 $, $ f\left(3\right)=2 $ et $ f\left(1\right)=1 $.

Remarque Si l'on a déjà étudié le chapitre sur les vecteurs, on peut également montrer que les vecteurs $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{AC} $ ne sont pas colinéaires.