Inéquations - Tableau de signes

Soit la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R}\backslash\left\{ - 1\right\} $ par :

$ f\left(x\right)=\dfrac{4x^{2} - x - 2}{x+1}+1 $

Corrigé

On réduit au même dénominateur :

$ f\left(x\right)=\dfrac{4x^{2} - x - 2}{x+1}+1=\dfrac{4x^{2} - x - 2}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+1}=\dfrac{4x^{2} - 1}{x+1} $
On peut factoriser le numérateur qui est une identité remarquable du type $ a^2 - b^2=(a - b)(a+b) $

$ f\left(x\right)=\dfrac{\left(2x - 1\right)\left(2x+1\right)}{x+1} $

On obtient le tableau de signes suivant :
$ \dfrac{4x^{2} - x - 2}{x+1} > - 1 \Leftrightarrow \dfrac{4x^{2} - x - 2}{x+1}+1 > 0 \Leftrightarrow f\left(x\right) > 0 $

On lit l'ensemble des solutions sur le tableau précédent:

$ S=\left] - 1; - \dfrac{1}{2}\right[ \cup \left]\dfrac{1}{2}; +\infty \right[ $