Quiz
Soient $p$ un réel appartenant à l'intervalle $ \left] 0~;~0,5 \right[ $ et $X$ une variable aléatoire prenant ses valeurs dans l'ensemble $ \left\{ - 1~; 0~; 1 \right\} $ telle que : $ p(X= - 1)=p(X=1)=p.$
La variance de $X$ est $ V(X) = \dfrac{ p^2 }{ 2 }. $
C'est faux.
L'espérance mathématique de $X$ est :
$ E(X) = - 1 \times p + 1 \times p = 0. $
Sa variance est :
$V(X) = E \left( \left( X - E(X) \right) ^2 \right) $ =E \left( X^2 \right) $)$ = ( - 1)^2 \times p+1^2 \times p = 2p. $×p+12×p=2p.
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Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu $ et d'écart-type $\sigma $.
La variable aléatoire $ - X $ a pour espérance $ - \mu $ et pour écart-type $ - \sigma.$
C'est faux.
L'espérance est bien $ - \mu $. Par contre, un écart-type est toujours positif ou nul et ne peut donc être égal à $ - \sigma. $
Lorsqu'on multiplie une variable aléatoire par un nombre réel $\lambda $, son écart-type est multiplié par $ \left| \lambda \right| $. Donc l'écart-type de $ - X $ est $ | - 1| \sigma = \sigma. $
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Soit $X$ une variable aléatoire qui ne prend que des valeurs négatives ou nulles.
L'espérance mathématique de $X$ est négative ou nulle.
C'est vrai.
En effet, la formule :
$ E(X)= p_1x_1+ p_2x_2 + \cdots +p_nx_n $
montre que $E(X)$ est négative ou nulle lorsque tous les $x_i$ sont négatifs ou nuls.
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Soit $X$ une variable aléatoire dont la loi est donné par le tableau (incomplet) ci-dessous :
$ x_i $ 1 2 3 4$ p(X=x_i) $ 0,1 0,3 ? 0,1
$p(X=3) = 0,3.$
C'est faux.
La somme de toutes les probabilités doit être égale à 1.
Par conséquent :
$p(X=3) = 0,5.$
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On lance un dé bien équilibré.
Si le « 6 » sort on gagne $x$ euros ; dans les autres cas on perd 1 euro.
Le jeu est équitable (c'est à dire d'espérance nulle) si et seulement si $ x= 6 $
C'est faux.
$ E(X) = \dfrac{ - 1 }{ 6 } + \dfrac{ - 1 }{ 6 } + \dfrac{ - 1 }{ 6 } + \dfrac{ - 1 }{ 6 } + \dfrac{ - 1 }{ 6 } + \dfrac{ 1 }{ 6 } \times x$
$ E(X) = \dfrac{ - 5+x }{ 6 } $
Donc, l'espérance mathématique est nulle pour $x=5.$
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Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu $ .
Alors, on a nécessairement $ p(X \mu ).$
C'est faux.
Considérons, par exemple, la variable aléatoire dont la loi est donnée par le tableau ci-dessous :
$x_i $ -1 9$p(X=x_i)$ 0,9 0,1 Alors :
$ \mu = - 1 \times 0,9 +9 \times 0,1= 0 $
$ p(X < 0 ) = 0,9$ tandis que $ p(X > 0 )= 0,1.$
donc $ p(X \mu ).$
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