Quiz
Soit $ x $ un réel et :
$ A = \left( \text{e}^{ x } +1 \right) ^2 - 2 \text{e}^{ x } - 1 $
Pour tout $ x \in \mathbb{R} $, $ A = \text{e}^{ 2x } $
C'est vrai.
$\left( \text{e}^{ x } +1 \right) ^2 = \left( \text{e}^{ x } \right) ^2 + 2 \text{e}^{ x } + 1 = \text{e}^{ 2x } + 2 \text{e}^{ x } + 1 $
Par conséquent :
$ A = \left( \text{e}^{ x } +1 \right) ^2 - 2 \text{e}^{ x } - 1 = \text{e}^{ 2x } $
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Pour $x \in \mathbb{R} $, on pose :
$E = \dfrac{ \text{e}^{ x } - 1 }{ \text{e}^{ x } +1 }+\dfrac{ \text{e}^{ - x } - 1 }{ \text{e}^{ - x } +1 } $
$E=0$ pour tout $ x \in \mathbb{R}$.
C'est vrai.
En utilisant le fait que $ \text{e}^{ - x } = \dfrac{ 1 }{ \text{e}^{ x } } $ :
$ \text{e}^{ - x } - 1 = \dfrac{ 1 }{ \text{e}^{ x } } - \dfrac{\text{e}^{ x } }{ \text{e}^{ x } } = \dfrac{1 - \text{e}^{ x } }{ \text{e}^{ x } }$
$ \text{e}^{ - x } +1 = \dfrac{ 1 }{ \text{e}^{ x } } + \dfrac{\text{e}^{ x } }{ \text{e}^{ x } } = \dfrac{1 + \text{e}^{ x } }{ \text{e}^{ x } }$
$\dfrac{ \text{e}^{ - x } - 1 }{ \text{e}^{ - x } +1 } = \dfrac{1 - \text{e}^{ x } }{ \text{e}^{ x } } \times \dfrac{ \text{e}^{ x } }{1 + \text{e}^{ x }} = \dfrac{1 - \text{e}^{ x } }{1 + \text{e}^{ x }} $
Par conséquent :
$E = \dfrac{ \text{e}^{ x } - 1 }{ \text{e}^{ x } +1 }+\dfrac{ \text{e}^{ - x } - 1 }{ \text{e}^{ - x } +1 } $ = \dfrac{ \text{e}^{ x } - 1 }{ \text{e}^{ x } +1 }+\dfrac{1 - \text{e}^{ x } }{1 + \text{e}^{ x }} =0.$+1ex−1+1+ex1−ex=0.
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Soit l'équation :
$ \dfrac{ \text{e}^{ x } - 1 }{ \text{e}^{ x } + 1 } = 0 $+1ex−1=0
L'ensemble des solutions de cette équation est $ S= \left\{ 0 \right\} $
C'est vrai.
Une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nul ; or :
$ \text{e}^{ x } - 1 = 0 \Leftrightarrow \text{e}^{ x } = 1 \Leftrightarrow x=0 $−1=0⇔ex=1⇔x=0
donc $ S= \left\{ 0 \right\}. $
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L'équation $ \text{e}^{ x - 1 } = 0 $=0 a pour ensemble des solutions :
$S = \left\{ 1 \right\} $
C'est faux.
La fonction exponentielle ne prend que des valeurs strictement positives.
Pour tout réel $ on a donc $ \text{e}^{ x - 1 } > 0.$
L'équation $ \text{e}^{ x - 1 } = 0$ n'admet alors aucune solution.
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Soit l'équation $ (E) $ :
$ \left( \text{e}^{ x } - 1 \right) \left( \text{e}^{ x } + 1 \right) = 0 $
L'équation $(E)$ possède deux solutions sur $\mathbb{R}.$
C'est faux.
$ \left( \text{e}^{ x } - 1 \right) \left( \text{e}^{ x } + 1 \right) = 0 \Leftrightarrow \text{e}^{ x } - 1 =0$ ou $ \text{e}^{ x } + 1 =0 $
Or, si la première équation admet une solution (égale à 0), le seconde n'a pas de solution car $ \text{e}^{ x } + 1 > 0. $
L'équation $(E)$ possède donc une unique solution sur $\mathbb{R}.$
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Dans $\mathbb{R}$, l'équation $ \text{e}^{ 2x } + \text{e}^{ x } = 0$ admet une unique solution.
C'est faux.
La fonction exponentielle ne prend que des valeurs strictement positives donc $ \text{e}^{ 2x } > 0$ et $ \text{e}^{ x } > 0$
Par conséquent $ \text{e}^{ 2x } + \text{e}^{ x } > 0$ et l'équation $ \text{e}^{ 2x } + \text{e}^{ x } = 0$ n'a pas de solution sur $\mathbb{R}.$
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