Quiz
Soit le triangle $ ABC $ ci-dessous :
L'unité de longueur correspond au côté d'un carré du quadrillage.
$ \overrightarrow{ AB } \cdot \overrightarrow{ AC } = 16. $
C'est faux.
Le point $C$ se projette en $H$ sur la droite $ (AB) $ :
L'angle $ \widehat{ BAC } $ étant aigu :
$ \overrightarrow{ AB } \cdot \overrightarrow{ AC } = AH \times AB = 4 \times 6 = 24. $
$ ABCD $ est le parallélogramme ci-dessous :
( L'unité correspond au côté d'un carré du quadrillage.)
$ \overrightarrow{ AC } \cdot \overrightarrow{ BD } = 9 $
C'est vrai.
Les points $B$ et $D$ se projettent en $A$ et $C$ sur la droite $ \left( AC \right). $
Alors :
$ \overrightarrow{ AC } \cdot \overrightarrow{ BD } = \overrightarrow{ AC } \cdot \overrightarrow{ AC } = \overrightarrow{ AC }^2 = AC^2 =3^2 =9. $
On considère les vecteurs $ \overrightarrow{ u }$, $ \overrightarrow{ v } $ et $ \overrightarrow{ w } $ ci-dessous :
$ \overrightarrow{ u } \cdot \overrightarrow{ v } = 3 \times \overrightarrow{ u } \cdot \overrightarrow{ w } $
C'est vrai.
Les vecteurs $ \overrightarrow{ v } $ et $ \overrightarrow{ w } $ se projettent en $ \overrightarrow{ v^{\prime} } $ et $ \overrightarrow{ w^{\prime} } $ sur l'axe de vecteur directeur $ \overrightarrow{ u }$ :
$ \overrightarrow{ u } \cdot \overrightarrow{ v } = \overrightarrow{ u } \cdot \overrightarrow{ v^{\prime} } = 4 \times 6 = 24 $
$ \overrightarrow{ u } \cdot \overrightarrow{ w } = \overrightarrow{ u } \cdot \overrightarrow{ w^{\prime} } = 4 \times 2 = 8.$
Donc $ \overrightarrow{ u } \cdot \overrightarrow{ v } = 3 \times \overrightarrow{ u } \cdot \overrightarrow{ w } $
On considère la figure ci-dessous, l'unité étant le carreau :
$ \overrightarrow{ u } \cdot \overrightarrow{ v } = \overrightarrow{ u } \cdot \overrightarrow{ w } $
C'est faux.
Les vecteurs $ \overrightarrow{ v } $ et $ \overrightarrow{ w } $ sont opposés donc $ \overrightarrow{ u } \cdot \overrightarrow{ v } = - \overrightarrow{ u } \cdot \overrightarrow{ w } $
Par ailleurs, ce produit scalaire n'est pas nul car $ \overrightarrow{ u } $ n'est pas orthogonal à $ \overrightarrow{ v } $ ( ou $ \overrightarrow{ w } $ ) donc :
$ \overrightarrow{ u } \cdot \overrightarrow{ v } \neq \overrightarrow{ u } \cdot \overrightarrow{ w } $
On considère la figure ci-dessous :
$ \overrightarrow{ AB } \cdot \overrightarrow{ AC } $ est strictement négatif.
C'est vrai.
L'angle $ \widehat{ BAC } $ est obtus donc le produit scalaire $ \overrightarrow{ AB } \cdot \overrightarrow{ AC } $ est strictement négatif.
On considère le triangle rectangle isocèle $ ABC $ de hauteur $[AH]$ ci-dessous :
L'unité est la longueur du côté d'un carré du quadrillage.
$ \overrightarrow{ CH } \cdot \overrightarrow{ AB } = 9 $
C'est vrai.
Le point $A$ se projette en $H$ sur la droite $ (BC).$
Les vecteurs $ \overrightarrow{ CH } $ et $ \overrightarrow{ HB } $ sont égaux. les --- Par conséquent :
$ \overrightarrow{ CH } \cdot \overrightarrow{ AB } = \overrightarrow{ CH } \cdot \overrightarrow{ HB } = \overrightarrow{ CH }^2=CH^2 = 3^2 = 9. $