Quiz
Soit la fonction $ f $ de courbe $ \mathscr{C}_f $ représentée ci-dessous et $ \mathscr{T} $ la tangente à $ \mathscr{C}_f $ au point de coordonnées $ \left( 0~;~3 \right) . $
$ f^{\prime}(0)= - 1 $
C'est vrai.
Le nombre dérivé $ f^{\prime}(0) $ est égal au coefficient directeur de la tangente $ \mathscr{T}.$
Par lecture graphique, on voit que ce coefficient directeur vaut $ - 1. $
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La tangente à la courbe représentative d'une fonction $ f $ au point de coordonnées $ \left( 1~;~1 \right) $ a pour équation :
$y=2x - 1$
Alors : $ f^{\prime}(1) = 1 $
C'est faux.
$ f^{\prime}(1) $ est le coefficient directeur de la tangente au point de coordonnées $ \left( 1~;~1 \right) . $
L'équation de la tangente étant $y=2x - 1$, ce coefficient vaut $2.$
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Soit la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par :
$ f(x)=x^3+1 $
Le taux d'accroissement (ou taux de variation) de $ f $ entre $ - 1$ et $ 1 $ est égal à $ \dfrac{ 1 }{ 2 } $
C'est faux.
Le taux d'accroissement de $ f $ entre $ - 1$ et $ 1 $ est égal à :
$ t = \dfrac{ f(1) - f( - 1)}{ 1 - ( - 1) } $
$\phantom{ t } = \dfrac{ 1^3+1 - \left( ( - 1)^3 +1 \right) }{ 2 } $
$\phantom{ t } = \dfrac{ 2 - 0 }{ 2 } = 1 $
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Soit la fonction $ f $ de courbe $ \mathscr{C}_f $ représentée ci-dessous.
$ f^{\prime}(2) $ est négatif.
C'est vrai.
Au point d'abscisse $2$ le coefficient directeur de la tangente vaut approximativement $ - 4$ donc $f^{\prime}(2) $ est négatif.
(On peut aussi dire que la fonction $f$ est décroissante en $2.$)
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Soit une fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ telle que $f(0)=1$ et $ f^{\prime}(0)=0.$
La tangente à la courbe représentative de $ f $ au point d'abscisse $ 0 $ a pour équation $ y=x. $
C'est faux.
La formule donnant l’équation réduite de la tangente au point d'abscisse $0$ est :
$ y=f^{\prime}(0)(x - 0)+f(0) $
ce qui donne ici :
$y=1$
Il s'agit d'une droite parallèle à l'axe des abscisses.
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Soit la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $f(x)= x^2+x. $
Pour calculer $f^{\prime}(0)$ un élève a effectué le calcul suivant :
$ f^{\prime}(0)= \lim\limits_{ h \rightarrow 0 } \dfrac{ f(h) - f(0) }{ h } $
$\phantom{ f^{\prime}(0)} = \lim\limits_{ h \rightarrow 0 } \dfrac{ h^2+h - 0 }{ h }$
$\phantom{ f^{\prime}(0)} = \lim\limits_{ h \rightarrow 0 } \dfrac{ h(h+1) }{ h } $
$\phantom{ f^{\prime}(0)} = \lim\limits_{ h \rightarrow 0 } h + 1 = 1. $
Ce calcul est correct.
C'est vrai.
L'élève a utilisé la définition du nombre dérivé :
$ f^{\prime}(a) = \lim\limits_{ h \rightarrow 0 } \dfrac{ f(a+h) - f(a) }{ h }. $
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