Quiz
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \backslash \{ 2\} $ par :
$ f(x) = \dfrac{ x - 1 }{ x - 2 } $
La fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $ \left] 2~;~+\infty \right[.$
C'est vrai.
On pose $ u(x) = x - 1 $ et $ v(x) = x - 2 $.
Alors : $ u^{\prime}(x) = 1 $ et $ v^{\prime}(x) = 1. $
Par conséquent :
$ f^{\prime}(x) = \dfrac{ u^{\prime}(x)v(x) - u(x)v^{\prime}(x) }{ v(x)^2 } $
$ = \dfrac{ (x - 2) - (x - 1) }{(x - 2)^2 } = \dfrac{ - 1 }{ (x - 2)^2 } $
$ f^{\prime} $ est strictement négative sur l'intervalle $ \left] 2~;~+\infty \right[$ donc $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.
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Soit $m$ un nombre réel et $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$ f(x) = \dfrac{ x^2 + m }{ x^2 + 1 } $
Pour $ m < 1$, la fonction $f$ est croissante sur $ \left] 0~;~+\infty \right[ $
C'est vrai.
Posons $ u(x) = x^2 + m $ et $ v(x) = x^2 + 1 $
On obtient : $ u^{\prime}(x) = 2x $ et $ v^{\prime}(x) = 2x. $
Alors :
$ f^{\prime}(x) = \dfrac{ u^{\prime}(x)v(x) - u(x)v^{\prime}(x) }{ v(x)^2 } $
$ = \dfrac{ 2x(x^2 + 1) - 2x(x^2 +m) }{(x^2 + 1)^2 } $ = \dfrac{ 2x(1 - m) }{ (x^2 + 1)^2 } $+1)22x(1−m)
Pour $ m < 1$ et $ x > 0 $ : $ f^{\prime}(x) > 0 $(x)>0 ; donc $f$ est croissante sur l'intervalle $ \left] 0~;~+\infty \right[ $ pour $ m < 1.$
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Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$.
On pose : $ g(x) = x^2 \times f(x)$
$g^{\prime}(0)=0. $
C'est vrai.
On pose $ u(x) = x^2 $ et $ v(x) = f(x). $
Alors : $u^{\prime}(x) = 2x$ et $ v^{\prime}(x) = f^{\prime}(x).$
Par conséquent :
$g^{\prime}(x) = u^{\prime}(x)v(x) + u(x)v^{\prime}(x) $ = 2xf(x) + x^2f^{\prime}(x)$f′(x)
Donc $ g^{\prime}(0) = 2 \times 0 \times f(0) + 0^2 \times f^{\prime}(0) = 0. $(0)=2×0×f(0)+02×f′(0)=0.
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Soit la fonction $ définie sur $\mathbb{R} \backslash \{ 1\} $ par :
$ f(x) = \dfrac{ x^2+1 }{ x - 1 } $
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R} \backslash \{ 1\} $ et $ f^{\prime}(x) = \dfrac{ x^2 - 2x+1 }{ (x - 1)^2 }. $
C'est faux.
On pose $ u(x) = x^2+1 $ et $ v(x) = x - 1 $.
Alors : $ u^{\prime}(x) = 2x $ et $ v^{\prime}(x) = 1. $
Par conséquent :
$ f^{\prime}(x) = \dfrac{ u^{\prime}(x)v(x) - u(x)v^{\prime}(x) }{ v(x)^2 } $
$ = \dfrac{ 2x(x - 1) - (x^2+1) }{(x - 1)^2 } $ = \dfrac{x^2 - 2x \red{ - }1 }{ (x - 1)^2 } $x2−2x−1
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Soit $ un entier naturel non nul et $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$ f(x) = (x^n+1)(x^n - 1) $
$f^{\prime}(1) = n^2$
C'est faux.
Le plus simple, ici, est de développer $f$ en utilisant une identité remarquable :
$ f(x) = (x^n+1)(x^n - 1) = (x^n)^2 - 1 $ - 1 $−1
Donc :
$ f^{\prime}(x) = 2n x^{2n - 1}$(x)=2nx2n−1
Par conséquent : $f^{\prime}(1) = 2n.$(1)=2n.
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Soit la fonction $ définie sur $\mathbb{R} \backslash \{ 0\} $ par :
$ f(x) = \dfrac{ x+1 }{ x } $
Pour la fonction $ f $, un élève a dressé ce tableau de variations :
Le tableau de variations proposé est correct.
C'est vrai.
On pose $ u(x) = x+1 $ et $ v(x) = x. $
Alors : $u^{\prime}(x) = v^{\prime}(x) = 1.$
Par conséquent :
$ f^{\prime}(x) = \dfrac{ u^{\prime}(x)v(x) - u(x)v^{\prime}(x) }{ v(x)^2 } $
$ = \dfrac{ x - (x + 1) }{x^2 } = \dfrac{ - 1 }{ x^2 } $
$ f^{\prime} $ est strictement négative sur chacun des intervalles $ \left] - \infty~;~0 \right[$ et $ \left] 0~;~+\infty \right[.$
$f$ est donc décroissante sur ces intervalles et le tableau de variations est correct.
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