Quiz
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} $ par :
$f(x) = \dfrac{ x^2+1 }{ 2 } $
Pour tout réel $x$, $ f^{\prime}(x) = x. $
C'est vrai.
$ f(x)= \dfrac{ x^2+1 }{ 2 }= \dfrac{ 1 }{ 2 } x^2 + \dfrac{ 1 }{ 2 } $
donc, pour tout $ x \in \mathbb{R}$ :
$ f^{\prime}(x) = \dfrac{ 1 }{ 2 } \times 2 x = x. $
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On considère les fonctions $f$ et $ g $ défines sur $\mathbb{R} $ par :
$f(x)= x^3+2x^2 + x + \sqrt{ 2 } $
$g(x)= x^3+2x^2 + x - \sqrt{ 2 } $
Pour tout $ x \in \mathbb{R} $ : $ f^{\prime}(x) = g^{\prime}(x).$
C'est vrai.
La constante $ \sqrt{ 2 } $ « disparaît » lors de la dérivation, par conséquent :
$ f^{\prime}(x)= 3x^2+4x + 1 $
$ g^{\prime}(x)= 3x^2+4x + 1 $
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Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} $ par :
$f(x)= 3x^4 - 4x^3+1 $
Alors, $ f^{\prime}(1) = 1. $
C'est faux.
Pour tout réel $x$ :
$ f^{\prime}(x) =12x^3 - 12x^2 $
donc :
$ f^{\prime}(1) = 0. $
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La fonction $h$ est définie sur $\mathbb{R} $ par :
$h(x)= x^3 - 3x^2+1 $
On note $ \mathscr{T} $ la tangente à la courbe représentative de $f$ au point de coordonnées $ \left( 0~;~1 \right).$
L'équation de la droite $ \mathscr{T} $ est $ y = 1. $
C'est vrai.
L'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $ 0 $ est : $ y = f^{\prime}(0)(x - 0)+f(0). $
Or : $ f^{\prime}(x)=3x^2 - 6x $ donc $ f^{\prime}(0)=0 $
et comme $ f(0)=1 $, l'équation de la droite $ \mathscr{T} $ est bien $ y = 1. $
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Soit $m$ un nombre réel et $f$ la fonction polynôme définie sur $\mathbb{R} $ par :
$ f(x)=x^2+mx+1 $
On note $ (T) $ la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $ 1. $
La droite $ (T) $ est parallèle à l'axe des abscisses si et seulement si $ m= - 2. $
C'est vrai.
Pour tout réel $x$ :
$ f^{\prime}(x) = 2x+m $
donc $ f^{\prime}(1)=2+m. $
La tangente $ (T) $ est parallèle à l'axe des abscisses si et seulement si son coefficient directeur $f^{\prime}(1)$ est nul donc si et seulement si $ m= - 2.$
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Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} $ par :
$f(x) = 4x^4+3x^3+2x^2+x+1 $
Pour tout réel $x$, $ f^{\prime}(x) = 16x^4+9x^3+4x^2+x+1. $
C'est faux.
Il faut diminuer les degrés :
$f(^{\prime}x) = 16x^3+9x^2+4x+1. $
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