Quiz
Soient $\alpha = \dfrac{ \pi }{ 5 } $ et $\beta = \dfrac{ 21 \pi }{ 5 } $
Les réels $\alpha $ et $\beta $ sont repérés par le même point sur le cercle trigonométrique.
C'est vrai.
$ \beta = \dfrac{ 21 \pi }{ 5 } = \dfrac{ \pi +20 \pi }{ 5 } = \dfrac{ \pi }{ 5 } + 4 \pi = \alpha + 2 \times 2 \pi.$
Les nombres $\alpha $ et $\beta $ diffèrent d'un multiple de $ 2 \pi $ donc, ils représentent le même point sur le cercle trigonométrique.
Soient $A$ et $ B $ les images respectives des réels $ \dfrac{ \pi }{ 3 } $ et $ \dfrac{ 2 \pi }{ 3 } $sur le cercle trigonométrique.
Les points $ A $ et $ B $ ont la même ordonnée.
C'est vrai, comme le montre la figure ci-dessous :
Les angles $\dfrac{\pi }{ 3 }$ et $\dfrac{2 \pi }{ 3 }$ sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. Ils ont donc le même sinus (la même ordonnée).
Soit $\alpha $ un nombre réel et $M$ et $N$ les images respectives de $\alpha $ et $ \alpha + \pi $ sur le cercle trigonométrique.
Les points $M$ et $N$ sont symétriques par rapport à l'origine $O$ .
C'est vrai : ajouter $\pi$ à un angle correspond à faire un demi-tour sur le cercle.
Les points $M$ et $N$ sont diamétralement opposés. Ils sont symétriques par rapport à l'origine $O$.
Soient $a = \dfrac{ \pi }{ 5 } $ et $b = - \dfrac{ 4 \pi }{ 5 } $
Les réels $a$ et $b$ sont repérés par le même point sur le cercle trigonométrique.
C'est faux.
On remarque que $ b = -\dfrac{4\pi}{5} = \dfrac{\pi - 5\pi}{5} = \dfrac{\pi}{5} - \pi = a - \pi $.
Les points repérant $a$ et $b$ sont donc diamétralement opposés (symétriques par rapport à l'origine). Ils ne sont pas confondus.
Soient $M$ et $ N $ les images des réels $ \dfrac{ \pi }{ 4 } $ et $ - \dfrac{\pi }{4 } $ sur le cercle trigonométrique.
Les points $ M $ et $ N $ ont la même abscisse.
C'est vrai. Les angles $\alpha$ et $-\alpha$ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses.
Ils ont donc la même abscisse (le même cosinus) et des ordonnées opposées.
Soit $\alpha $ un nombre réel et $P$ et $Q$ les images respectives de $\alpha $ et $ - \alpha $ sur le cercle trigonométrique.
Les points $P$ et $Q$ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses .
C'est vrai. C'est une propriété générale du cercle trigonométrique.
Si un point $P$ repère un réel $\alpha$, le point $Q$ repérant $-\alpha$ est obtenu par une symétrie axiale par rapport à l'axe des abscisses. Ainsi, $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$ et $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$.