Remarque
Pour simplifier les explications, on supposera que les suites $(u_n)$ étudiées ici sont définies pour tout entier naturel $n$, c’est à dire à partir de $u_0$.
Les méthodes ci-dessous se généralisent facilement aux suites commençant à $u_1$, $u_2$, etc.
Rappel
On considère une suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$.
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la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante si pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} \geqslant u_{n}$
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la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante si pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} \leqslant u_{n}$
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la suite $\left(u_{n}\right)$ est constante si pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} = u_{n}$
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la suite $\left(u_{n}\right)$ est strictement croissante si pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} > u_{n}$
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la suite $\left(u_{n}\right)$ est strictement décroissante si pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} < u_{n}$
Première méthode
Étude du signe de $u_{n+1} – u_{n} $
Méthode
On calcule $u_{n+1} – u_{n}$ puis on étudie le signe du résultat.
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si pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} – u_{n} \geqslant 0 $, la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante
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si pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} – u_{n} \leqslant 0 $, la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante
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si pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} – u_{n} = 0 $, la suite $\left(u_{n}\right)$ est constante
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si pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} – u_{n} > 0 $, la suite $\left(u_{n}\right)$ est strictement croissante
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si pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} – u_{n} < 0 $, la suite $\left(u_{n}\right)$ est strictement décroissante
Remarque 1 : Pour l’étude du signe on n’oubliera pas que $n$ étant un entier naturel, il est positif ou nul.
Remarque 2 : Une suite peut très bien n’être ni croissante, ni décroissante, ni constante (cas des suites non monotones comme la suite $(u_n)$ définie par $u_n=( – 1)^n$)
Exemple 1
Etudier le sens de variation de la suite $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n= \dfrac{n}{n+1} $.
Solution :
On calcule $u_{n+1}$ en remplaçant $n$ par $n+1$ dans la formule donnant $u_n$ :
$u_{n+1}= \dfrac{n+1}{(n+1)+1}= \dfrac{n+1}{n+2} $.
Par conséquent :
$u_{n+1} – u_n= \dfrac{n+1}{n+2} – \dfrac{n}{n+1} $
On réduit au même dénominateur :
$u_{n+1} – u_n= \dfrac{(n+1)^2}{(n+2)(n+1)} – \dfrac{n(n+2)}{(n+1)(n+2)} $
$u_{n+1} – u_n= \dfrac{n^2+2n+1}{(n+2)(n+1)} – \dfrac{n^2+2n}{(n+1)(n+2)} $
$u_{n+1} – u_n= \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} $
Le numérateur et le dénominateur étant positifs (car $n$ est un entier naturel) $u_{n+1} – u_n >0 $ donc la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
Exemple 2
Montrer que la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $u_{n+1}= u_n+n – 1 $ est croissante pour $n \geqslant 1$.
Solution :
$u_{n+1} – u_n= (u_n+n – 1) – u_n=n – 1 $
$u_{n+1} – u_n \geqslant 0 $ pour $n \geqslant 1$ donc la suite $(u_n)$ est croissante à partir du rang 1.
Cas particulier 1 : Suites arithmétiques
Une suite arithmétique de raison $r$ est définie par une relation du type $u_{n+1}=u_n + r$.
On a donc $u_{n+1} – u_n=r$
Résultat :
Une suite arithmétique est croissante (resp. décroissante) si et seulement si sa raison est positive (resp. négative).
Cas particulier 2 : Suites géométriques
On considère une suite géométrique de premier terme et de raison tous deux positifs.
Pour une suite géométrique de raison $q$ : $u_{n}=u_0 q^n$.
Par conséquent :
$u_{n+1} – u_n=u_0 q^{n+1} – u_0 q^n = u_0 q^n(q – 1)$
$u_{n+1} – u_n$ est donc du signe de $q – 1$ (puisqu’on a supposé $u_0$ et $q$ positifs).
Résultat :
Une suite géométrique de raison $q>0$ et de premier terme $u_0>0$ est croissante (resp. décroissante) si et seulement si $q \geqslant 1$(resp. $q \leqslant 1$).
Deuxième méthode
Étude de fonction
Méthode
Si la suite $(u_n)$ est définie par une formule explicite du type $u_n=f(n)$, on peut étudier les variations de la fonction $x \longmapsto f(x)$ sur $[0; +\infty[ $
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si $f$ est croissante (resp. strictement croissante), la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante (resp. strictement croissante)
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si $f$ est décroissante (resp. strictement décroissante), la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante (resp. strictement décroissante)
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si $f$ est constante, la suite $\left(u_{n}\right)$ est constante
Exemple 3
On reprend la suite $(u_n)$ de l’exemple 1 définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n= \dfrac{n}{n+1} $.
Solution :
On définit $f$ sur $[0 ; + \infty [ $ par $f(x)= \dfrac{x}{x+1} $.
$f^\prime (x)= \dfrac{1\times(x+1) – 1\times x}{(x+1)^2} = \dfrac{1}{(x+1)^2} > 0$
$f^\prime $ est strictement positive sur $[0 ; + \infty [$ donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0 ; + \infty [$ et la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
Troisième méthode
Démonstration par récurrence (en terminale S)
Méthode
Si la suite $(u_n)$ est définie par une formule par récurrence (par exemple par une formule du type $u_{n+1}=f(u_n)$), on peut démontrer par récurrence que $u_{n+1} \geqslant u_n$ (resp. $u_{n+1} \leqslant u_n$) pour montrer que la suite est croissante (resp. décroissante)
Exemple 4
Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_0=1$ et pour tout $n \in \mathbb{N} $ : $u_{n+1}=2u_n – 3$.
Montrer que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.
Solution :
Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} < u_n$.
Initialisation
$u_0=1$ et $u_1=2 \times 1 – 3= – 1$$u_1 < u_0$ donc la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité
Supposons que la propriété $u_{n+1} < u_n$ est vraie pour un certain entier $n$ et montrons que $u_{n+2} < u_{n+1}$.
$ u_{n+1} < u_n \Rightarrow 2u_{n+1} < 2u_n $
$ \phantom{u_{n+1} < u_n} \Rightarrow 2u_{n+1} - 3< 2u_n - 3 $
$ \phantom{u_{n+1} < u_n} \Rightarrow u_{n+2}< u_{n+1} $
ce qui prouve l’hérédité.
Conclusion
Pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} < u_n$ donc la suite $(u_n) $ est strictement décroissante.
Exemple 5
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1}=u_n^3+u_n – 1$.
Etudier le sens de variation de la suite $(u_n)$.
Solution :
Le calcul des premiers termes ($u_0=0$, $u_1= – 1$, $u_2= – 3$) laisse présager que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.
Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} < u_n$.
Initialisation
$u_0=0$ et $u_1= – 1$.
$u_1 < u_0$ donc la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité
Supposons que la propriété $u_{n+1} < u_n$ est vraie pour un certain entier $n$ et montrons que $u_{n+2} < u_{n+1}$.
Posons $f(x)=x^3+x – 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
Alors :$f^\prime (x) = 3x^2+1$ est strictement positif pour tout réel $x$ donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Par conséquent :
$ u_{n+1} < u_n \Rightarrow f(u_{n+1}) < f(u_n) $ puisque $f$ est strictement croissante !
$ \phantom{u_{n+1} < u_n} \Rightarrow u_{n+2}< u_{n+1} $
ce qui prouve l’hérédité.
Conclusion
Pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} < u_n$ donc la suite $(u_n) $ est strictement décroissante.