Ensemble de points dont l’affixe vérifie une condition
Situation
On vous demande de trouver l'ensemble des points $ M $ du plan complexe dont l'affixe $ z $ vérifie une certaine condition.
Exemple
- Déterminer l'ensemble des points $ M $ d'affixe $ z $ tels que $ \dfrac{z - 1}{z+i} $ soit un imaginaire pur.
- Déterminer l'ensemble des points $ M $ d'affixe $ z $ tels que $ \left| z - 1+i\right| =1 $.
1 - Méthode algébrique
Méthode
On pose $ z=x+iy $ (avec $ x \in \mathbb{R},\ y \in\mathbb{R} $) dans la condition et l'on essaie de se ramener à une équation cartésienne.
Rappels
Une équation cartésienne d'une droite dans le plan est de la forme :
$ax=by+c$Une équation cartésienne du cercle de centre $ \Omega (x_0\~;\ y_0) $ et de rayon $ r $ est :
$(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2$
Exemple
Déterminer l'ensemble des points $ M $ d'affixe $ z $ tels que $ \dfrac{z - 1}{z+i} $ soit un imaginaire pur.
Tout d'abord notons que $ \dfrac{z - 1}{z+i} $ n'est défini que si $ z \neq - i $.
Pour $ z \neq - i $, on pose $ z=x+iy $ :
$ \dfrac{z - 1}{z+i}=\dfrac{x+iy - 1}{x+iy+i}=\dfrac{x+iy - 1}{x+i(y+1)} $
On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur :
$ {\dfrac{z - 1}{z+i}}=\dfrac{(x+iy - 1)(x - iy - i)}{(x+i(y+1))(x - i(y+1))} $
$ \phantom {\dfrac{z - 1}{z+i}}=\dfrac{x^2 - ixy - ix+ixy+y^2+y - x+iy+i}{x^2+(y+1)^2} $
On réduit et on sépare partie réelle et partie imaginaire :
$ {\dfrac{z - 1}{z+i}}=\dfrac{x^2+y^2 - x+y}{x^2+(y+1)^2}+i\dfrac{ - x+y+1}{x^2+(y+1)^2} $
$ {\dfrac{z - 1}{z+i}} $ est un imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle donc si et seulement si $ x^2+y^2 - x+y = 0 $.
En remarquant que $ x^2 - x $ est le début de l'identité remarquable $ \left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 $ on trouve $ x^2 - x=\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{4} $.
De même, $ y^2+y=\left(y+ \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{4} $.
L'équation $ x^2+y^2 - x+y = 0 $ est donc équivalente à :
$ \left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{4} +\left(y+ \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{4} = 0 $
$ \left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 +\left(y+ \dfrac{1}{2}\right)^2 =\dfrac{1}{2} $
D'après le rappel, l'ensemble cherché est donc le cercle de centre $\Omega\left(\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2}\right)$ et de rayon $ r=\dfrac{1}{ \sqrt{2} }=\dfrac{ \sqrt{2} }{2} $. Il faut toutefois retrancher à cet ensemble le point $ A $ d'affixe $ - i $ pour lequel le rapport $ {\dfrac{z - 1}{z+i}} $ n'est pas défini.
On pourrait également traiter l'exemple 2 de manière algébrique. On va voir que la méthode géométrique est plus plus rapide et nécessite moins de calculs.
2 - Méthode géométrique
Méthode
Cette méthode est particulièrement adaptée au cas où la condition est exprimée à l'aide de module.
On utilise le résultat suivant :
Si $ M $ est un point d'affixe $ z $ et $ A $ un point d'affixe $ a $ alors $ |z - a| $ s'interprète géométriquement comme la distance $ AM $.
La condition imposée peut alors s'nterpréter en terme de distance.
Rappels
- L'ensemble des points du plan tels que $AM=BM$ est la médiatrice du segment $[AB]$.
L'ensemble des points du plan tels que $AM=r$ est :
- le cercle de centre $ A $ et de rayon $ r $ si $ r > 0 $
- le point $ A $ si $ r = 0 $
- l'ensemble vide si $ r < 0 $
Exemple
Déterminer l'ensemble des points $ M $ d'affixe $ z $ tels que $ \left| z - 1+i\right| =1 $.
On écrit $ \left| z - 1+i\right| $ $ = \left| z - (1 - i)\right| $ (qui est de la forme $ |z - a| $ avec $ a=1 - i $).
On place le point $ A $ d'affixe $ 1 - i $. On a alors $ \left| z - (1 - i)\right| = AM $.
La condition $ \left| z - 1+i\right| =1 $ s'écrit alors $ AM = 1 $. L'ensemble cherché est donc le cercle de centre $ A(1 - i) $ et de rayon $ 1 $.
