Situation
On vous demande de trouver l’ensemble des points $M$ du plan complexe dont l’affixe $z$ vérifie une certaine condition.
Exemples
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Déterminer l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ tels que $ \dfrac{z – 1}{z+i} $ soit un imaginaire pur.
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Déterminer l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ tels que $\left| z – 1+i\right| =1 $.
1 – Méthode algébrique
Méthode
On pose $z=x+iy$ (avec $x \in \mathbb{R},\ y \in\mathbb{R}$) dans la condition et l’on essaie de se ramener à une équation cartésienne.
Rappels
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\item
Une équation cartésienne d’une droite dans le plan est de la forme :
$ax+by+c=0$
\item
Une équation cartésienne du cercle de centre $$ et de rayon $r$ est :
$(x – x_0)^2+(y – y_0)^2=r^2$
┘
Exemple 1
Déterminer l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ tels que $ \dfrac{z – 1}{z+i} $ soit un imaginaire pur.
Tout d’abord notons que $ \dfrac{z – 1}{z+i} $ n’est défini que si $z \neq – i$.
Pour $z \neq – i$, on pose $z=x+iy$ :
$ \dfrac{z – 1}{z+i}=\dfrac{x+iy – 1}{x+iy+i}=\dfrac{x+iy – 1}{x+i(y+1)}$
On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur :
${\dfrac{z – 1}{z+i}}=\dfrac{(x+iy – 1)(x – iy – i)}{(x+i(y+1))(x – i(y+1))} $
$\phantom {\dfrac{z – 1}{z+i}}=\dfrac{x^2 – ixy – ix+ixy+y^2+y – x+iy+i}{x^2+(y+1)^2} $
On réduit et on sépare partie réelle et partie imaginaire :
${\dfrac{z – 1}{z+i}}=\dfrac{x^2+y^2 – x+y}{x^2+(y+1)^2}+i\dfrac{ – x+y+1}{x^2+(y+1)^2} $
${\dfrac{z – 1}{z+i}}$ est un imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle donc si et seulement si $x^2+y^2 – x+y = 0$.
En remarquant que $x^2 – x$ est le début de l’identité remarquable $\left(x – \dfrac{1}{2}\right)^2 $ on trouve $x^2 – x=\left(x – \dfrac{1}{2}\right)^2 – \dfrac{1}{4}$.
De même, $y^2+y=\left(y+ \dfrac{1}{2}\right)^2 – \dfrac{1}{4}$.
L’équation $x^2+y^2 – x+y = 0$ est donc équivalente à :
$\left(x – \dfrac{1}{2}\right)^2 – \dfrac{1}{4}$$+\left(y+ \dfrac{1}{2}\right)^2 – \dfrac{1}{4} = 0$
$\left(x – \dfrac{1}{2}\right)^2 $$+\left(y+ \dfrac{1}{2}\right)^2 =\dfrac{1}{2}$
D’après le rappel, l’ensemble cherché est donc le cercle de centre $$ et de rayon $r=\dfrac{1}{ \sqrt{2} }=\dfrac{ \sqrt{2} }{2}$. Il faut toutefois retrancher à cet ensemble le point $A$ d’affixe $ – i$ pour lequel le rapport ${\dfrac{z – 1}{z+i}}$ n’est pas défini.
On pourrait également traiter l’exemple 2 de manière algébrique. On va voir que la méthode géométrique est plus plus rapide et nécessite moins de calculs.
2 – Méthode géométrique
Méthode
Cette méthode est particulièrement adaptée au cas où la condition est exprimée à l’aide de module.
On utilise le résultat suivant :
Si $M$ est un point d’affixe $z$ et $A$ un point d’affixe $a$ alors $|z – a|$ s’interprète géométriquement comme la distance $AM$.
La condition imposée peut alors s’interpréter en terme de distance.
Rappels
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\item
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le cercle de centre $A$ et de rayon $r$ si $r > 0$
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le point $A$ si $r = 0$
-
l’ensemble vide si $r < 0$
L’ensemble des points du plan tels que $AM=BM$ est la médiatrice du segment $[AB]$
\item
L’ensemble des points du plan tels que $AM=r$ est :
┘
Exemple 2
Déterminer l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ tels que $\left| z – 1+i\right| =1 $.
On écrit $\left| z – 1+i\right| $ $= \left| z – (1 – i)\right| $ (qui est de la forme $|z – a|$ avec $a=1 – i$).
On place le point $A$ d’affixe $1 – i$. On a alors $\left| z – (1 – i)\right| = AM $.
La condition $\left| z – 1+i\right| =1 $ s’écrit alors $AM = 1$. L’ensemble cherché est donc le cercle de centre $A(1 – i)$ et de rayon $1$.
