Problème :
$ A $ et $ B $ sont deux points d’une droite $\mathscr{D} $ et $ C $ et $ D $ deux points d’une droite $ \mathscr{D^{\prime}} $.
Les droites $ \left( AC \right) $ et $ \left( BD \right) $ sont sécantes en un point $ M $.
Deux cas de figure sont possibles :
On connait les longueurs $ AM, BM, CM, DM. $
On se pose la question suivante :
Les droites $\mathscr{D} $ et $ \mathscr{D^{\prime}} $ sont-elles parallèles ?
Méthode
On calcule séparément chacun des deux rapports $ \dfrac{ MA }{ MD } $ et $ \dfrac{ MB }{ MC } . $
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Si ces deux rapports sont égaux, les droites $\mathscr{D} $ et $\mathscr{D^{\prime}} $ sont parallèles d’après la réciproque du théorème de Thalès
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Sinon, les droites $\mathscr{D} $ et $\mathscr{D^{\prime}} $ ne sont pas parallèles (en effet, si elles étaient parallèles, on aurait $ \dfrac{ MA }{ MD } = \dfrac{ MB }{ MC } $ d’après le théorème de Thalès.)
Attention à la rédaction :
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N’écrivez pas $ \dfrac{ MA }{ MD } = \dfrac{ MB }{ MC } $ tant que vous n’avez pas prouvé que ces rapports étaient égaux !
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La réciproque du théorème de Thalès sert à prouver que les droites $\mathscr{D} $ et $\mathscr{D^{\prime}} $ sont parallèles. Ne citez pas la réciproque du théorème de Thalès si $\mathscr{D} $ et $\mathscr{D^{\prime}} $ ne sont pas parallèles !
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Il faut faire attention à l’alignement et à l’ ordre des points.
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Dans le cas de la première figure ci-dessus, on signalera que $ A, M, D $ et $ B, M, C $ sont dans le même ordre ; dans le cas de la seconde figure, que $ M, A, D $ et $ M, B, C $ sont dans le même ordre.
Remarque:
N’oubliez pas qu’il existe d’autres méthodes pour démontrer que deux droites sont parallèles.
En particulier, un théorème couramment utilisé au collège pour montrer que deux droites sont parallèles est le suivant :
Théorème
Deux droites prependiculaires à une même troisième sont parallèles entre elles.
Exemple 1
Dans la figure ci-dessous, tracée à main levée, on a : $ IM=5 $cm, $ IJ = 3 $cm, $ IL=4 $cm et $ IK=2,5 $cm.
Les droites $(JK)$ et $ (LM) $ sont-elles parallèles ?
Solution
Les droites $ \left( JM \right) $ et $ \left( KL \right) $ sont sécantes en $I$.
Les points $ J, I, M $ et $ K, I, L $ sont dans le même ordre.
On calcule $ \dfrac{ IJ }{ IM } $ et $ \dfrac{ IK }{ IL } $ :
$ \dfrac{ IJ }{ IM } = \dfrac{ 3 }{ 5 } $
$ \dfrac{ IK }{ IL } = \dfrac{ 2,5 }{ 4 } = \dfrac{ 25 }{ 40 } = \dfrac{ 5 }{ 8 } $
Les rapports $ \dfrac{ IJ }{ IM } $ et $ \dfrac{ IK }{ IL } $ ne sont pas égaux ; par conséquent, les droites $ \left( JK \right) $ et $ \left( LM \right) $ ne sont pas parallèles.
Exemple 2
Sur la figure ci-dessus, on sait que :
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$ AD = 2 $ cm
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$ AB = 5 $ cm
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$ AE = 3 $ cm
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$ EC = 4,5 $ cm
Les droites $ \left( DE \right) $ et $ \left( BC \right) $ sont-elles parallèles ?
Solution
Les droites $ \left(BD \right) $ et $ \left( EC \right) $ sont sécantes au point $A$.
Les points $ A, D, B $ et les points $ A, E, C $ sont situés dans le même ordre.
On va comparer les rapports $ \dfrac{AD}{ AB } $ et $ \dfrac{ AE }{ AC } $.
Pour cela, on calcule d’abord $ AC $ :
$ AC = AE + EC = 3 + 4,5 = 7,5 .$
Alors :
$ \dfrac{ AD }{ AB } = \dfrac{ 2 }{ 5 } $
$ \dfrac{ AE }{ AC } = \dfrac{ 3 }{ 7,5 } = \dfrac{ 2 }{ 5 } $
Les rapports $ \dfrac{ AD }{ AB } $ et $ \dfrac{ AE }{ AC }$ sont égaux, donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès les droites $ \left( DE \right) $ et $ \left( BC \right) $ sont parallèles.