Méthode
Dans cette fiche, on cherchera à déterminer si une équation du type :
$
x^2 +y^2 +ax+by+c=0
$
correspond à l’équation d’un cercle et, si c’est le cas, à déterminer les coordonnées du centre et du rayon de ce cercle.
On utilisera, pour cela, le résultat suivant :
Rappel
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\left(O, \vec{i}, \vec{j}\right)$.
Soit $ \Omega ( \alpha ; \beta) $ un point quelconque du plan et $r$ un réel positif.
Une équation du cercle de centre $ \Omega $ et de rayon $r$ est :
$
\left(x – \alpha \right)^{2}+\left(y – \beta \right)^{2}=r^{2}
$
L’objectif sera donc de chercher si l’équation $x^2 +y^2 +ax+by+c=0 $ peut s’écrire sous la forme $\left(x – \alpha \right)^{2}+\left(y – \beta \right)^{2}=r^{2}$.
En pratique, pour déterminer si l’ensemble cherché est un cercle et déterminer les éléments caractéristiques de ce cercle, on procède de la manière suivante :
-
on regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$
-
on fait apparaître des carrés de la forme $(x – \alpha )^2 $ et $(y – \beta )^2 $ en utilisant des identités remarquables
-
On écrit l’équation sous la forme $(x – \alpha )^2 +(y – \beta )^2 = \gamma $ ;
À partir de cette équation :-
si $ \gamma >0$ , l’ensemble cherché est un cercle de centre $ \Omega ( \alpha ; \beta )$ et de rayon $r=\sqrt{ \gamma }$ .
-
si $ \gamma =0$ , l’ensemble cherché est le point $ \Omega ( \alpha ; \beta )$
-
si $ \gamma <0$ , l'ensemble cherché est l'ensemble vide.
-
Exemple 1
Énoncé
Déterminer l’ensemble des points $M$ tels que :
$
x^2 +y^2 +2x – 4y=0
$
-
En regroupant les termes en $x$ et les termes en $y$ on obtient :
$x^2 +2x+ y^2 – 4y=0$ -
$x^2 +2x$ est le début de l’identité remarquable : $x^2 +2x+1=(x+1)^2.$
Donc $x^2 +2x=(x+1)^2 – 1$De la même manière, $y^2 – 4y$ est le début de l’identité remarquable : $y^2 – 4y+4=(y – 2)^2 $
Donc $y^2 – 4y=(y – 2)^2 – 4$ -
En utilisant les résultats précédents, l’équation de départ peut s’écrire sous la forme :
$(x+1)^2 – 1+(y – 2)^2 – 4=0$C’est-à-dire :
$(x+1)^2+(y – 2)^2 =5$
$(x – ( – 1))^2+(y – 2)^2 =\left(\sqrt{5}\right)^2 $L’ensemble des points $M$ cherché est donc le cercle de centre $ \Omega ( – 1~;~2)$ et de rayon $\sqrt{5}.$
Remarque : Ce cercle passe par l’origine du repère puisque l’équation est vérifiée pour $x=0$ et $y=0.$
Exemple 2
Énoncé
Quel est l’ensemble des points $M( x ; y )$ dont les coordonnées vérifient :
$
x^2 +y^2 +x – 3y+7=0 \quad ?
$
-
On commence par regrouper les termes en $x$ et les termes en $y$ :
$x^2 +x+ y^2 – 3y + 7=0$ -
$x^2 +x$ est le début de l’identité remarquable : $x^2 +x+\dfrac{ 1 }{ 4 }=\left(x+\dfrac{ 1 }{ 2 }\right)^2$
Donc $x^2 +x=\left(x+\dfrac{ 1 }{ 2 }\right)^2 – \dfrac{ 1 }{ 4 } $$y^2 – 3y$ est le début de l’identité remarquable : $y^2 – 3y+\dfrac{ 9 }{ 4 }=\left(y – \dfrac{ 3 }{ 2 }\right)^2 $
Ce qui donne : $y^2 – 3y=\left(y – \dfrac{ 3 }{ 2 }\right)^2 – \dfrac{ 9 }{ 4 } $ -
Finalement, notre équation peut s’écrire :
$\left(x+\dfrac{ 1 }{ 2 }\right)^2 – \dfrac{ 1 }{ 4 } +\left(y – \dfrac{ 3 }{ 2 }\right)^2 – \dfrac{ 9 }{ 4 } + 7 =0$Ou encore :
$\left(x+\dfrac{ 1 }{ 2 }\right)^2 + \left(y – \dfrac{ 3 }{ 2 }\right)^2 = – \dfrac{ 9 }{ 2 }$La somme de deux carrés ne peut jamais être strictement négative ; par conséquent, l’équation n’admet aucun couple solution.
L’ensemble cherché est donc l’ensemble vide.
Exemple 3
Énoncé
L’équation :
$
x^2 +y^2 – 6x +2y+10=0
$
est-elle l’équation d’un cercle ?
-
Là encore, la première étape consiste à regrouper les termes en $x$ et les termes en $y$ :
$x^2 – 6x+ y^2 +2y + 10=0$ -
Ensuite, on recherche le début d’identités remarquables :
$x^2 – 6x$ est le début de : $x^2 – 6x+9=\left(x – 3\right)^2$
Donc $x^2 – 6x=\left(x – 3\right)^2 – 9$De même, pour les termes en $y$ :
$y^2 +2y$ est le début de l’identité remarquable : $y^2 +2y+1=\left(y+1\right)^2 $
Ce qui donne : $y^2 +y=\left(y +1\right)^2 – 1 $ -
L’équation de départ peut alors s’écrire :
$\left(x – 3\right)^2 – 9+\left(y +1\right)^2 – 1 + 10 =0$Soit :
$\left(x – 3\right)^2+\left(y +1\right)^2 =0$La somme de deux carrés et nulle si et seulement si chacun de ces carrés est nul, c’est-à-dire si et seulement si :
$x – 3=0$ et $y+1=0.$L’équation proposée admet donc un unique couple solution qui est $\left( 3~;~ – 1 \right).$
L’ensemble d’équation $x^2 +y^2 – 6x +2y+10=0$ est donc réduit au point de coordonnées $\left( 3~;~ – 1 \right).$