Déterminer le centre et le rayon d’un cercle à partir de son équation

On utilisera, pour cela, le résultat suivant :

L'objectif sera donc de chercher si l'équation $ x^2 +y^2 +ax+by+c=0 $ peut s'écrire sous la forme $ \left(x - \alpha \right)^{2}+\left(y - \beta \right)^{2}=r^{2} $.

En pratique, pour déterminer si l'ensemble cherché est un cercle et déterminer les éléments caractéristiques de ce cercle, on procède de la manière suivante :

1. on regroupe les termes en $ x $ et les termes en $ y $
2. on fait apparaître des carrés de la forme $ (x - \alpha )^2 $ et $ (y - \beta )^2 $ en utilisant des identités remarquables
3. On écrit l'équation sous la forme $ (x - \alpha )^2 +(y - \beta )^2 = \gamma $ ;
   À partir de cette équation :
4. si $ \gamma >0 $ , l'ensemble cherché est un cercle de centre $ \Omega ( \alpha ; \beta ) $ et de rayon $ r=\sqrt{ \gamma } $ .
5. si $ \gamma =0 $ , l'ensemble cherché est le point $ \Omega ( \alpha ; \beta ) $
6. si $ \gamma <0 $ , l'ensemble cherché est l'ensemble vide.

1. En regroupant les termes en $ x $ et les termes en $ y $ on obtient :
   $ x^2 +2x+ y^2 - 4y=0 $
2. $ x^2 +2x $ est le début de l'identité remarquable : $ x^2 +2x+1=(x+1)^2. $
   Donc $ x^2 +2x=(x+1)^2 - 1 $
   
   De la même manière, $ y^2 - 4y $ est le début de l'identité remarquable : $ y^2 - 4y+4=(y - 2)^2 $
   Donc $ y^2 - 4y=(y - 2)^2 - 4 $

3. En utilisant les résultats précédents, l'équation de départ peut s'écrire sous la forme :
   $ (x+1)^2 - 1+(y - 2)^2 - 4=0 $

   C'est-à-dire :
   $ (x+1)^2+(y - 2)^2 =5 $
   $ (x - ( - 1))^2+(y - 2)^2 =\left(\sqrt{5}\right)^2 $

   L'ensemble des points $ M $ cherché est donc le cercle de centre $ \Omega ( - 1~;~2) $ et de rayon $ \sqrt{5}. $

   

   Remarque : Ce cercle passe par l'origine du repère puisque l'équation est vérifiée pour $ x=0 $ et $ y=0. $

1. On commence par regrouper les termes en $ x $ et les termes en $ y $ :
   $ x^2 +x+ y^2 - 3y + 7=0 $
2. $ x^2 +x $ est le début de l'identité remarquable : $ x^2 +x+\dfrac{ 1 }{ 4 }=\left(x+\dfrac{ 1 }{ 2 }\right)^2 $
   Donc $ x^2 +x=\left(x+\dfrac{ 1 }{ 2 }\right)^2 - \dfrac{ 1 }{ 4 } $
   
   $ y^2 - 3y $ est le début de l'identité remarquable : $ y^2 - 3y+\dfrac{ 9 }{ 4 }=\left(y - \dfrac{ 3 }{ 2 }\right)^2 $
   Ce qui donne : $ y^2 - 3y=\left(y - \dfrac{ 3 }{ 2 }\right)^2 - \dfrac{ 9 }{ 4 } $
3. Finalement, notre équation peut s'écrire :
   $ \left(x+\dfrac{ 1 }{ 2 }\right)^2 - \dfrac{ 1 }{ 4 } +\left(y - \dfrac{ 3 }{ 2 }\right)^2 - \dfrac{ 9 }{ 4 } + 7 =0 $
   
   Ou encore :
   $ \left(x+\dfrac{ 1 }{ 2 }\right)^2 + \left(y - \dfrac{ 3 }{ 2 }\right)^2 = - \dfrac{ 9 }{ 2 } $
   
   La somme de deux carrés ne peut jamais être strictement négative ; par conséquent, l'équation n'admet aucun couple solution.
   
   L'ensemble cherché est donc l'ensemble vide.

1. Là encore, la première étape consiste à regrouper les termes en $ x $ et les termes en $ y $ :
   $ x^2 - 6x+ y^2 +2y + 10=0 $
2. Ensuite, on recherche le début d'identités remarquables : $ x^2 - 6x $ est le début de : $ x^2 - 6x+9=\left(x - 3\right)^2 $
   Donc $ x^2 - 6x=\left(x - 3\right)^2 - 9 $
   
   De même, pour les termes en $ y $ : $ y^2 +2y $ est le début de l'identité remarquable : $ y^2 +2y+1=\left(y+1\right)^2 $
   Ce qui donne : $ y^2 +y=\left(y +1\right)^2 - 1 $
3. L'équation de départ peut alors s'écrire :
   $ \left(x - 3\right)^2 - 9+\left(y +1\right)^2 - 1 + 10 =0 $
   
   Soit :
   $ \left(x - 3\right)^2+\left(y +1\right)^2 =0 $
   
   La somme de deux carrés et nulle si et seulement si chacun de ces carrés est nul, c'est-à-dire si et seulement si :
   $ x - 3=0 $ et $ y+1=0. $
   
   L'équation proposée admet donc un unique couple solution qui est $ \left( 3~;~ - 1 \right). $
   
   L'ensemble d'équation $ x^2 +y^2 - 6x +2y+10=0 $ est donc réduit au point de coordonnées $ \left( 3~;~ - 1 \right). $