Ariane 5 est un lanceur utilisé pour placer des satellites de télécommunication en orbite autour du globe terrestre.
Pendant la première phase du lancement, la vitesse d’Ariane en km/s, $t$ minutes après le décollage, vaut$0,2t^2+0,4t$ pour $0 \leqslant t \leqslant 2$.
On note $v$ la fonction qui, au temps écoulé depuis le décollage exprimé en minutes, associe la vitesse d’Ariane 5 en km/s.
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Calculer $v(2)$.
Donner une interprétation de ce résultat.
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Compléter le tableau ci-dessous :
$t$ en minutes 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 $v(t)$ en km/s -
À l’aide du tableau précédent, déterminer un antécédent de $0,6$ par la fonction $v$.
Donner une interprétation de ce résultat.
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Le graphique ci-dessous représente la vitesse de la fusée Ariane 5 (en km/s) en fonction du temps écoulé, en minutes, depuis le décollage.
Combien de temps, environ, faut-il à la fusée pour atteindre la vitesse de $2$ km/s ?
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Quelle est la vitesse maximale atteinte par la fusée ?
Au bout de combien de temps cette vitesse est-elle atteinte ?
Corrigé
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D’après l’énoncé, la fonction $v$ est définie par $v(t)=0,2t^2+0,4t$ pour $0 \leqslant t \leqslant 2$.
Par conséquent $v(2)$ s’obtient en remplaçant $t$ par $2$ dans la formule ci-dessus :
$v(2)=0,2 \times 2^2+0,4 \times 2 =1,6$
Cela signifie qu’au bout de 2 minutes, la fusée atteindra la vitesse de 1,6 km/s.
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Pour compléter le tableau, on procède comme à la question précédente en remplaçant $t$ par $0,\ 0,2,\ 0,4$, etc.
On obtient le tableau suivant :
$t$ en minutes 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 $v(t)$ en km/s 0 0,088 0,192 0,312 0,448 0,6 0,768 0,952 1,152 1,368 1,6 -
À l’aide du tableau précédent on voit que $v(1)=0,6$.
Un antécédent de $0,6$ par la fonction $v$ est donc $1$ ; cela signifie qu’il faudra une minute à Ariane 5 pour atteindre $0,6$km/s.
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Le graphique ci-dessus montre qu’il faudra environ 4 minutes à la fusée pour atteindre la vitesse de $2$km/s
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On voit sur le graphique que la vitesse maximale atteinte par la fusée est $8$km/s puisqu’une fois parvenue à cette valeur, la vitesse n’augmente plus.
Cette vitesse de $8$km/s est atteinte au bout de $10$ minutes.
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