Vitesse de la fusée Ariane 5
Ariane 5 est un lanceur utilisé pour placer des satellites de télécommunication en orbite autour du globe terrestre.
Pendant la première phase du lancement, la vitesse d'Ariane en km/s, $ t $ minutes après le décollage, vaut$ 0,2t^2+0,4t $ pour $ 0 \leqslant t \leqslant 2 $.
On note $ v $ la fonction qui, au temps écoulé depuis le décollage exprimé en minutes, associe la vitesse d'Ariane 5 en km/s.
- Calculer $ v(2) $.
Donner une interprétation de ce résultat. Compléter le tableau ci-dessous :
$ t $ en minutes 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 $ v(t) $ en km/s - À l'aide du tableau précédent, déterminer un antécédent de $ 0,6 $ par la fonction $ v $.
Donner une interprétation de ce résultat. Le graphique ci-dessous représente la vitesse de la fusée Ariane 5 (en km/s) en fonction du temps écoulé, en minutes, depuis le décollage.
Combien de temps, environ, faut-il à la fusée pour atteindre la vitesse de $ 2 $ km/s ?
- Quelle est la vitesse maximale atteinte par la fusée ?
Au bout de combien de temps cette vitesse est-elle atteinte ?
Corrigé
- D'après l'énoncé, la fonction $ v $ est définie par $ v(t)=0,2t^2+0,4t $ pour $ 0 \leqslant t \leqslant 2 $.
Par conséquent $ v(2) $ s'obtient en remplaçant $ t $ par $ 2 $ dans la formule ci-dessus :
$ v(2)=0,2 \times 2^2+0,4 \times 2 =1,6 $
Cela signifie qu'au bout de 2 minutes, la fusée atteindra la vitesse de 1,6 km/s. Pour compléter le tableau, on procède comme à la question précédente en remplaçant $ t $ par $ 0,\ 0,2,\ 0,4 $, etc.
On obtient le tableau suivant :
$ t $ en minutes 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 $ v(t) $ en km/s 0 0,088 0,192 0,312 0,448 0,6 0,768 0,952 1,152 1,368 1,6 - À l'aide du tableau précédent on voit que $ v(1)=0,6 $.
Un antécédent de $ 0,6 $ par la fonction $ v $ est donc $ 1 $ ; cela signifie qu'il faudra une minute à Ariane 5 pour atteindre $ 0,6 $km/s. 
Le graphique ci-dessus montre qu'il faudra environ 4 minutes à la fusée pour atteindre la vitesse de $ 2 $km/s
On voit sur le graphique que la vitesse maximale atteinte par la fusée est $ 8 $km/s puisqu'une fois parvenue à cette valeur, la vitesse n'augmente plus.
Cette vitesse de $ 8 $km/s est atteinte au bout de $ 10 $ minutes.
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