Soient un triangle $ABC$, $I$ le symétrique de $A$ par rapport à $B$, $J$ le milieu de $\left[BC\right]$ et $K$ le point tel que $\overrightarrow{AK}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{AC}$
Montrer que les points $I, J$ et $K$ sont alignés. (On pourra se placer dans un repère judicieusement choisi)
Corrigé
Solution rédigée par PYF82
On se place dans la base $(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC})$
On a : $\overrightarrow{KJ}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BJ}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$
$\overrightarrow{KJ}= – \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})$
$\overrightarrow{KJ}= – \dfrac{4}{6}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB} – \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{6}\overrightarrow{AC})$
$\overrightarrow{KJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} – \dfrac{1}{6}\overrightarrow{AC}$
et $\overrightarrow{KI}= \overrightarrow{KA} + \overrightarrow{AI}= 2\overrightarrow{AB} – \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$
On en déduit que : $\overrightarrow{KI}=4\overrightarrow{KJ}$ . Les vecteurs $\overrightarrow{KI}$ et $\overrightarrow{KJ}$ sont donc colinéaires :
on en déduit que les points $K, I$ et $J$ sont alignés.