[ROC] Vecteur directeur et vecteur normal d’une droite

Prérequis :On suppose connu le résultat suivant :

Si $ d $ une droite passant par un point $ A $ et de vecteur directeur $ \vec{u} $

et

sont colinéaires.

Dans tout l'exercice, le plan est rapporté à un repère orthonormé $ \left(O ; \vec{i}, \vec{j}\right) $

Partie A

Soient $ d $ la droite d'équation $ ax+by+c=0 $ avec $ a\neq 0 $ ou $ b\neq 0 $ et $ A\left(x_{A} ; y_{A}\right) $ un point de $ d $.

1. Montrer que le point $ B $ de coordonnées $ \left(x_{A} - b ; y_{A}+a\right) $ appartient à la droite $ d $.
2. En déduire que le vecteur $ \vec{u}\left( - b ; a\right) $ est un vecteur directeur de $ d $.
3. Montrer que le vecteur $ \vec{n}\left(a ; b\right) $ est un vecteur normal à $ d $.

Partie B (Réciproque de la partie A)

Soient un point $ A\left(x_{A} ; y_{A}\right) $ et un vecteur $ \vec{n}\left(a ; b\right) $ et soit $ d $ la droite passant par $ A $ et de vecteur normal $ \vec{n} $.

1. Montrer que le vecteur $ \vec{u}\left( - b ; a\right) $ est orthogonal au vecteur $ \vec{n} $

2. En déduire que le point $ M\left(x ; y\right) $ appartient à $ d $ si et seulement si :

   $ ax+by+c=0 $

   où $ a $ et $ b $ sont les coordonnées de $ \vec{n} $ et $ c $ un réel que l'on déterminera en fonction de $ a, b, x_{A} $ et $ y_{A} $. (On pourra utiliser le résultat énoncé en prérequis)

3. Application. Déterminer l'équation de la droite $ \Delta $ passant par le point $ A\left(1 ; - 1\right) $ et dont un vecteur normal est $ \vec{n}\left( - 2 ; 3\right) $