[ROC] Vecteur directeur et vecteur normal d’une droite

Prérequis : On suppose connu le résultat suivant :

Si $d$ une droite passant par un point $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$

Dans tout l’exercice, le plan est rapporté à un repère orthonormé $\left(O ; \vec{i}, \vec{j}\right)$

Partie A

Soient $d$ la droite d’équation $ax+by+c=0$ avec $a \neq 0$ ou $b \neq 0$ et $A\left(x_{A} ; y_{A}\right)$ un point de $d$.

1. Montrer que le point $B$ de coordonnées $\left(x_{A} – b ; y_{A}+a\right)$ appartient à la droite $d$.

2. En déduire que le vecteur $\vec{u}\left( – b ; a\right)$ est un vecteur directeur de $d$.

3. Montrer que le vecteur $\vec{n}\left(a ; b\right)$ est un vecteur normal à $d$.

Partie B (Réciproque de la partie A)

Soient un point $A\left(x_{A} ; y_{A}\right)$ et un vecteur $\vec{n}\left(a ; b\right)$ et soit $d$ la droite passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}$.

1. Montrer que le vecteur $\vec{u}\left( – b ; a\right)$ est orthogonal au vecteur $\vec{n}$

2. En déduire que le point $M\left(x ; y\right)$ appartient à $d$ si et seulement si :

   $ax+by+c=0$

   où $a$ et $b$ sont les coordonnées de $\vec{n}$ et $c$ un réel que l’on déterminera en fonction de $a, b, x_{A}$ et $y_{A}$. (On pourra utiliser le résultat énoncé en prérequis)

3. Application.
   Déterminer l’équation de la droite $\Delta$ passant par le point $A\left(1 ; – 1\right)$ et dont un vecteur normal est $\vec{n}\left( – 2 ; 3\right)$