On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par :
$u_{0}=1$ et pour tout entier $n$ , $u_{n+1}= \dfrac{1}{2} u_{n} – 1$.
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Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$. La suite $\left(u_{n}\right)$ est-elle arithmétique? géométrique ?
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On pose $v_{n}=u_{n}+2$.
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Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$. Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ?
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Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
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En déduire $u_{n}$ en fonction de $n$.
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Corrigé
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$u_{1}=\dfrac{1}{2}u_{0} – 1= – \dfrac{1}{2}$
$u_{2}=\dfrac{1}{2}u_{1} – 1= – \dfrac{5}{4}$
La suite n’est ni arithmétique ni géométrique.
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$v_{n+1}=u_{n+1}+2$ (définition de la suite $v_{n}$)
$v_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_{n} – 1+2=\dfrac{1}{2}u_{n}+1$ (car $u_{n+1}= \dfrac{1}{2} u_{n} – 1$)
$v_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(u_{n}+2\right)=\dfrac{1}{2}v_{n}$
$\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
Son premier terme est $v_{0}=u_{0}+2=3$.
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$v_{n}=v_{0}\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}=3\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}$
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$u_{n}=v_{n} – 2=3\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} – 2$
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