Exercices
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Non commencé
Utilisation d’une suite annexe
On considère la suite $ \left(u_{n}\right) $ définie par :
$ u_{0}=1 $ et pour tout entier $ n $ , $ u_{n+1}= \dfrac{1}{2} u_{n} - 1 $.
- Calculer $ u_{1} $ et $ u_{2} $. La suite $ \left(u_{n}\right) $ est-elle arithmétique? géométrique ?
On pose $ v_{n}=u_{n}+2 $.
- Exprimer $ v_{n+1} $ en fonction de $ v_{n} $. Quelle est la nature de la suite $ \left(v_{n}\right) $ ?
- Exprimer $ v_{n} $ en fonction de $ n $.
- En déduire $ u_{n} $ en fonction de $ n $.
Corrigé
- $ u_{1}=\dfrac{1}{2}u_{0} - 1= - \dfrac{1}{2} $
$ u_{2}=\dfrac{1}{2}u_{1} - 1= - \dfrac{5}{4} $
La suite n'est ni arithmétique ni géométrique. - $ v_{n+1}=u_{n+1}+2 $ (définition de la suite $ v_{n} $)
$ v_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_{n} - 1+2=\dfrac{1}{2}u_{n}+1 $ (car $ u_{n+1}= \dfrac{1}{2} u_{n} - 1 $)
$ v_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(u_{n}+2\right)=\dfrac{1}{2}v_{n} $
$ \left(v_{n}\right) $ est une suite géométrique de raison $ \dfrac{1}{2} $.
Son premier terme est $ v_{0}=u_{0}+2=3 $. - $ v_{n}=v_{0}\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}=3\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} $
- $ u_{n}=v_{n} - 2=3\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} - 2 $
- $ v_{n+1}=u_{n+1}+2 $ (définition de la suite $ v_{n} $)