Soit un triangle $ABC$ de hauteur $\left(AH\right)$
Sachant que $AB=6,7$cm, $AC=3,4$cm et $AH=3$cm, le triangle $ABC$ est-il rectangle ?
Corrigé
$\left(AH\right)$ étant une hauteur du triangle $ABC$, $ABH$ est rectangle en $H$ donc, d’après le théorème de Pythagore :
$AB^{2}=AH^{2}+BH^{2}$
$BH^{2}=AB^{2} – AH^{2}=6,7^{2} – 3^{2}=35,89$
Donc : $BH=\sqrt{35,89}\approx 5,99$ à $10^{ – 2}$ près.
De même, dans le triangle $AHC$ rectangle en $H$ :
$AC^{2}=AH^{2}+CH^{2}$
$CH^{2}=AC^{2} – AH^{2}=3,4^{2} – 3^{2}=2,56$
Donc : $CH=\sqrt{2,56}=1,6$.
Par conséquent,
$BC=BH+CH\approx 7,59$cm
Calculons $AB^{2}+AC^{2}$ puis $BC^{2}$ pour savoir si le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ :
$AB^{2}+AC^{2}=6,7^{2}+3,4^{2}=56,45$
$BC^{2}\approx 7,59^{2}\approx 57,61$
$AB^{2}+AC^{2}\neq BC^{2}$ donc le triangle $ABC$ n’est pas rectangle en $A$.