Théorème des restes chinois

On recherche l'ensemble $ S $ des entiers naturels $ n $ qui divisés par 5 donnent un reste égal à 3 et divisés par 7 donnent un reste égal à 2.

Traduire les conditions de l'énoncé à l'aide de congruences.
On pose $ n=5p+3 $ et $ n=7q+2 $.
1. Montrer que $ p $ et $ q $ vérifient l'équation (E) : $ 7q - 5p=1 $
2. Pourquoi l'équation (E) admet-t-elle des solutions dans $ \mathbb{Z}\times \mathbb{Z} $ ?
3. Trouver une solution de (E) dans $ \mathbb{Z}\times \mathbb{Z} $.
4. En déduire l'ensemble des solutions de (E) dans $ \mathbb{N}\times \mathbb{N} $.
En déduire l'ensemble $ S $

Corrigé

Les conditions de l'énoncé se traduisent par :

$ n \equiv 3 \pmod{5} $ et $ n \equiv 2 \pmod{7} $
On pose $ n=5p+3 $ et $ n=7q+2 $.
1. On a $ 5p+3 = 7q+2 $, ce qui équivaut à $ 7q - 5p = 3 - 2 $, soit :
  
  $ 7q - 5p = 1 \quad (E) $
2. Les nombres 7 et 5 sont premiers entre eux car leur PGCD est égal à 1. D'après le théorème de Bézout, il existe donc deux entiers relatifs $ p $ et $ q $ tels que $ 7q - 5p = 1 $. L'équation $(E)$ admet donc des solutions dans $ \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} $.
3. On remarque que $ 7 \times 3 = 21 $ et $ 5 \times 4 = 20 $. Comme $ 21 - 20 = 1 $, on en déduit qu'une solution particulière de $(E)$ dans $ \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} $ est $(p=4, q=3)$.
4. L'ensemble des solutions de $(E)$ dans $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ est du type $(p=4+7k, q=3+5k)$ avec $ k \in \mathbb{N} $.
  On vérifie aisément que :
  
  $ 7(3+5k) - 5(4+7k) = 21 + 35k - 20 - 35k = 1 $
L'ensemble $ S $ est alors l'ensemble des entiers de la forme :

$ n = 5(4+7k) + 3 = 7(3+5k) + 2 = 23 + 35k \quad \text{avec } k \in \mathbb{N} $

(Solution rédigée par Paki)