Th. de Pythagore (Brevet Nouvelle-Calédonie 2013)

(D'après Brevet Nouvelle–Calédonie Décembre 2013)

Sur le dessin ci-dessus, les points $ A, B $ et $ E $ sont alignés, et $ C $ le milieu de $ \left[BD\right] $.

Corrigé

Montrons que le triangle $ ABC $ est rectangle en $ B $ en utilisant la réciproque du théorème de Pythagore.

$ AC^{2}=5^{2}=25 $

Comme $ C $ est le milieu de $ \left[BD\right] $, $ BC=CD=3 $; par conséquent :

$ AB^{2}+BC^{2}=4^{2}+3^{2}=16+9=25 $

$ AC^{2}=AB^{2}+BC^{2} $ donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ ABC $ est rectangle en $ B $.

(Remarque : Ce triangle n'est pas isocèle car $ AB=4 $ et $ BC=3 $.)
L'angle $ \widehat{ABC} $ est un angle droit d'après la question précédente. Comme les points $ A, B $ et $ E $ sont alignés, l'angle $ \widehat{BDE} $ est également un angle droit donc le triangle $ BDE $ est rectangle en $ B $.

(Remarque : Ce triangle n'est pas isocèle car $ BD=6 $ et $ BE=7 $.)
$ BD=2\times CD=6 $

D'après le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle $ BDE $ :

$ DE^{2}=BD^{2}+BE^{2} $

$ DE^{2}=6^{2}+7^{2} $

$ DE^{2}=36+49 $

$ DE^{2}=85 $

$ DE=\sqrt{85} $

$ DE\approx 9,2 $ au dixième près.