Th. de Pythagore (Brevet Nouvelle-Calédonie 2013)

Montrons que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ en utilisant la réciproque du théorème de Pythagore.

$AC^{2}=5^{2}=25$

Comme $C$ est le milieu de $\left[BD\right]$, $BC=CD=3$; par conséquent :

$AB^{2}+BC^{2}=4^{2}+3^{2}=16+9=25$

$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$ donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.

(Remarque : Ce triangle n’est pas isocèle car $AB=4$ et $BC=3$.)

L’angle $\widehat{ABC}$ est un angle droit d’après la question précédente. Comme les points $A, B$ et $E$ sont alignés, l’angle $\widehat{BDE}$ est également un angle droit donc le triangle $BDE$ est rectangle en $B$.

(Remarque : Ce triangle n’est pas isocèle car $BD=6$ et $BE=7$.)

$BD=2\times CD=6$

D’après le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle $BDE$ :

$DE^{2}=BD^{2}+BE^{2}$

$DE^{2}=6^{2}+7^{2}$

$DE^{2}=36+49$

$DE^{2}=85$

$DE=\sqrt{85}$

$DE\approx 9,2$ au dixième près.