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[ROC] Théorème de la médiane

Théorème de la médiane

$ ABC $ est un triangle quelconque et $ I $ désigne le milieu de $ \left[BC\right] $.

  1. En utilisant la relation de Chasles en faisant intervenir le point $ I $, montrer que :

    $ AB^{2}+AC^{2}=2AI^{2}+\dfrac{BC^{2}}{2} $
  2. Montrer de même que :

    $ AB^{2} - AC^{2}=2\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{CB} $
  3. Montrer enfin que :

    $ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AI^{2} - \dfrac{1}{4}BC^{2} $

Corrigé

  1. On développe et on regroupe :

    $ AB^{2} + AC^{2} = (\overrightarrow{AB})^{2} + (\overrightarrow{AC})^{2} $
    $ AB^{2} + AC^{2} = (\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB})^{2} + (\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IC})^{2} $
    $ AB^{2} + AC^{2} = (\overrightarrow{AI}^{2} + 2\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IB}^{2}) + (\overrightarrow{AI}^{2} + 2\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IC}^{2}) $
    $ AB^{2} + AC^{2} = 2AI^{2} + 2\overrightarrow{AI} \cdot (\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC}) + IB^{2} + IC^{2} $

    Or $ I $ est le milieu du segment $[BC]$, donc $\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = \vec{0}$ et $IB = IC = \dfrac{1}{2} BC$.

    $ IB^{2} + IC^{2} = \left(\dfrac{1}{2}BC\right)^{2} + \left(\dfrac{1}{2}BC\right)^{2} = \dfrac{1}{4}BC^{2} + \dfrac{1}{4}BC^{2} = \dfrac{1}{2}BC^{2} $

    On en conclut que :

    $ AB^{2} + AC^{2} = 2AI^{2} + \dfrac{1}{2}BC^{2} $

  2. Même méthode que précédemment, seul un signe change :

    $ AB^{2} - AC^{2} = (\overrightarrow{AB})^{2} - (\overrightarrow{AC})^{2} $
    $ AB^{2} - AC^{2} = (\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB})^{2} - (\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IC})^{2} $
    $ AB^{2} - AC^{2} = (\overrightarrow{AI}^{2} + 2\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IB}^{2}) - (\overrightarrow{AI}^{2} + 2\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IC}^{2}) $
    $ AB^{2} - AC^{2} = 2\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{IB} - 2\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{IC} = 2\overrightarrow{AI} \cdot (\overrightarrow{IB} - \overrightarrow{IC}) $

    Comme $ I $ est le milieu de $[BC]$, $\overrightarrow{IB} - \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{CI} = \overrightarrow{CB}$.
    On en conclut que :

    $ AB^{2} - AC^{2} = 2\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{CB} $

  3. On développe puis on cherche à intégrer $\overrightarrow{BC}$ :

    $ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}) \cdot (\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IC}) $
    $ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AI^{2} + \overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{IC} $
    $ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AI^{2} + \overrightarrow{AI} \cdot (\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC}) + \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{IC} $

    Or $\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = \vec{0}$, donc :

    $ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AI^{2} + \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{IC} $

    Comme $I$ est le milieu de $[BC]$, on a $\overrightarrow{IB} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{IC} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.

    $ \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{IC} = \left(-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\right) \cdot \left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\right) = -\dfrac{1}{4}BC^{2} $

    On en déduit :

    $ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AI^{2} - \dfrac{1}{4}BC^{2} $

(Solution rédigée par Angkor)