Théorème de Thalès et projections orthogonales
$ \mathscr{D} $ et $ \mathscr{D^{\prime}} $ sont deux droites sécantes en $ O $.
$ I $ est un point quelconque de $ \mathscr{D} $ et $ J $ un point quelconque de $ \mathscr{D^{\prime}}. $
$ K $ est la projection orthogonale de $ I $ sur $ \mathscr{D^{\prime}} $
(cela signifie que $ K \in \mathscr{D^{\prime}} $ et que les droites $ \left( IJ \right) $ et $ \mathscr{D^{\prime}} $ sont perpendiculaires.)
$ L $ est la projection orthogonale de $ K $ sur $ \mathscr{D} $
$ M $ est la projection orthogonale de $ J $ sur $ \mathscr{D} $
$ N $ est la projection orthogonale de $ M $ sur $ \mathscr{D^{\prime}}. $
Démontrer que les droites $ \left( IJ \right) $ et $ \left( LN \right) $ sont parallèles.
Corrigé
Les droites $ \left( JM \right) $ et $ \left( KL \right) $ sont toutes les deux perpendiculaires à la droite $ \mathscr{D} $, donc, elles sont parallèles entre elles.
Par ailleurs, les points $ O, N, K $ sont alignés ainsi que les points $ O, L, M $ ;
par conséquent, d'après le théorème de Thalès :
L'égalité $ \dfrac{ OJ }{ OK } = \dfrac{ OM }{ OL } $ est équivalente à :
De même, les droites $ \left( IK \right) $ et $ \left( NM \right) $ sont parallèles puisqu'elles sont toutes les deux perpendiculaires à la droite $ \mathscr{D^{\prime}} $.
Les points $ O, M, K $ et $ O, M, I $ sont alignés ;
donc, d'après le théorème de Thalès :
L'égalité $ \dfrac{ OK }{ ON } = \dfrac{ OI }{ OM } $ est équivalente à :
Des égalités (1) et (2) on en déduit que :
En divisant chaque membre de l'égalité par $ OL \times ON $ on en déduit que :
$ \dfrac{ OJ \times OL }{ OL \times ON } = \dfrac{ OI \times ON }{ OL \times ON } $
$ \dfrac{ OJ }{ ON } = \dfrac{ OI }{ OL } $
Donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $ \left( NL \right) $ et $ \left( IJ \right) $ sont parallèles.