$\mathscr{D}$ et $\mathscr{D ^{\prime}}$ sont deux droites sécantes en $O$.
$I$ est un point quelconque de $\mathscr{D}$ et $J$ un point quelconque de $\mathscr{D ^{\prime}}.$
$K$ est la projection orthogonale de $I$ sur $\mathscr{D ^{\prime}}$
(cela signifie que $K \in \mathscr{D ^{\prime}}$ et que les droites $\left( IJ \right)$ et $\mathscr{D ^{\prime}}$ sont perpendiculaires.)
$L$ est la projection orthogonale de $K$ sur $\mathscr{D}$
$M$ est la projection orthogonale de $J$ sur $\mathscr{D}$
$N$ est la projection orthogonale de $M$ sur $\mathscr{D ^{\prime}}.$
Démontrer que les droites $\left( IJ \right)$ et $\left( LN \right)$ sont parallèles.
Corrigé
Par ailleurs, les points $O, N, K$ sont alignés ainsi que les points $O, L, M$ ;
par conséquent, d’après le théorème de Thalès :
$\dfrac{ OJ }{ OK } = \dfrac{ OM }{ OL } = \dfrac{ JM }{ KL }$
L’égalité $\dfrac{ OJ }{ OK } = \dfrac{ OM }{ OL }$ est équivalente à :
$OM \times OK = OJ \times OL \quad \textbf{(1)}$
De même, les droites $\left( IK \right)$ et $\left( NM \right)$ sont parallèles puisqu’elles sont toutes les deux perpendiculaires à la droite $\mathscr{D ^{\prime}}$.
Les points $O, M, K$ et $O, M, I$ sont alignés ;
donc, d’après le théorème de Thalès :
$\dfrac{ OK }{ ON } = \dfrac{ OI }{ OM } = \dfrac{ IK }{ NM }$
L’égalité $\dfrac{ OK }{ ON } = \dfrac{ OI }{ OM }$ est équivalente à :
$OM \times OK = OI \times ON \quad \textbf{(2)}$
Des égalités (1) et (2) on en déduit que :
$OJ \times OL = OI \times ON$
En divisant chaque membre de l’égalité par $OL \times ON$ on en déduit que :
$\dfrac{ OJ \times OL }{ OL \times ON } = \dfrac{ OI \times ON }{ OL \times ON }$
$\dfrac{ OJ }{ ON } = \dfrac{ OI }{ OL }$
Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $\left( NL \right)$ et $\left( IJ \right)$ sont parallèles.