Théorème de Thalès et parallélogramme
Sur la figure ci-dessous, $ ABCD $ est un parallélogramme. $ N $ est un point du côté $ \left[ AD \right] . $
La parallèle à la droite $ \left( AB \right) $ passant par $ N $ coupe la diagonale $ \left[ AC \right] $ en $ M $.
Enfin, la droite $ \left( BM \right) $ coupe la droite $ \left( AD \right) $ en $ I $.
Montrer que :
$ \dfrac{ NM }{ AB } = \dfrac{ NI }{ AI } $Montrer que :
$ \dfrac{ NM }{ DC } = \dfrac{ AN }{ AD } $En déduire que :
$ \dfrac{ NI }{ AI } = \dfrac{ AN }{ AD }. $- Application numérique :
Calculer la longueur $ NI $ sachant que $ AN = 2 $ cm et $ AD = 6 $ cm. - (Question subsidiaire) Que peut-on dire de la position du point $ I $ lorsque l'on modifie la position du point $ B $ ?
Corrigé
Les triangles $ IAB $ et $ INM $ sont en situation de Thalès ; en effet :
- les points $ I $, $ N $ et $ A $ sont alignés
- les points $ I $, $ M $ et $ B $ sont alignés
- les droites $ \left( MN \right) $ et $ \left( AB \right) $ sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, on a donc :
$ \dfrac{ NM }{ AB } = \dfrac{ NI }{ AI } = \dfrac{ MI }{ BI } . $
(Le troisième rapport $ \dfrac{ MI }{ BI } $ sera inutile pour cet exercice.)
De même, les triangles $ ANM $ et $ ACD $ sont en situation de Thalès car :
- les points $ D $, $ N $ et $ A $ sont alignés
- les points $ C $, $ M $ et $ A $ sont alignés
- les droites $ \left( MN \right) $ et $ \left( DC \right) $ sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès :
$ \dfrac{ NM }{ DC } = \dfrac{ AN }{ AD } = \dfrac{ AM }{ AC } $
- Comme $ ABCD $ est un parallélogramme, $ AB=DC $ donc $ \dfrac{ NM }{ AB } = \dfrac{ NM }{ DC } $ et donc les rapports des questions 1. et 2. sont tous égaux.
En particulier :
$ \dfrac{ NI }{ AI } = \dfrac{ AN }{ AD }. $ - Application numérique :
Posons $ NI = x. $
Alors:
$ AI=AN+NI=x+2 $
D'après la question précédente, on a donc :
$ \dfrac{ x }{ x+2 } = \dfrac{ 2 }{ 6 } $
En effectuant le produit en croix cette équation s'écrit:
$ 6x=2 \left( x+2 \right) $
$ 6x=2x+4 $
$ 6x - 2x=4 $
$ 4x=4 $
$ x=1 $
La longueur $ NI $ mesure donc 1 cm. - La position du point $ I $ reste inchangée lorsque l'on modifie la position du point $ B $ (à partir du moment où $ ABCD $ est un parallélogramme et où l'on suit les consignes de l'énoncé. ).
On peut d'ailleurs vérifier ce résultat à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique comme geogebra.
En effet, le résultat de la question 3. montre que la distance $ NI $ ne dépend que de la position de $ A $, $ N $ et $ D $ et ne dépend ni de la distance $ AB $ ni de la mesure de l'angle $ \widehat{ DAB } . $