Dans la figure ci-dessous, les points $A, O, D$ sont alignés ainsi que les points $B, O, C$.
$B$ appartient au cercle de diamètre $[AO]$ et $C$ appartient au cercle de diamètre $[DO]$.
On donne :
$AO=8$cm
$OD=5$cm
$DC=3$cm.
-
Montrer que le triangle $ABO$ est rectangle en $B$ et que le triangle $OCD$ est rectangle en $C$.
-
Justifier que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
-
Calculer la longueur $AB$.
Corrigé
-
On utilise la propriété suivante :
Rappel
Si $[BC]$ est un diamètre d’un cercle et $A$ un point de ce cercle (distinct de $B$ et de $C$), alors le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
Le côté $[AO]$ est un diamètre du cercle circonscrit au triangle $ABO$, donc le triangle $ABO$ est rectangle en $B$.
De même, le côté $[DO]$ est un diamètre du cercle circonscrit au triangle $OCD$, donc le triangle $OCD$ est rectangle en $C$.
-
D’après la question précédente, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont toutes deux perpendiculaires à la droite $(AD)$ ; elles sont donc parallèles entre elles.
-
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles et les points $A, O, D$ sont alignés de même que les points $B, O, C$ ; les triangles $ABO$ et $OCD$ forment alors une configuration de Thalès.
On a donc, d’après le théorème de Thalès :
$\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{AO}{OD}$
$\dfrac{AB}{3}=\dfrac{8}{5}$
Par conséquent :
$AB=\dfrac{3 \times 8}{5}=4,8.$
Le côté $AB$ mesure $4,8$cm.