(D’après Brevet Centres étrangers 2013)
Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.
On considère la figure ci-dessous, qui n’est pas en vraie grandeur.
$BCDE$ est un carré de $6$ cm de côté.
Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés et $AB=3$cm.
$F$ est un point du segment $\left[CD\right]$.
La droite $\left(AF\right)$ coupe le segment $\left[BE\right]$ en $M$.
Déterminer la longueur $CF$ pour que les longueurs $BM$ et $FD$ soient égales.
Corrigé
Comme les points $C, F$ et $D$ sont alignés :
$FD=CD-CF=6-x \qquad$(1)
Comme $BCDE$ est un carré, les droites $\left(BE\right)$ et $\left(CD\right)$ sont parallèles.
D’après le théorème de Thalès :
$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AM}{AF}=\dfrac{BM}{CF}$
$\dfrac{3}{9}=\dfrac{AM}{AF}=\dfrac{BM}{x}$
De l’égalité $\dfrac{3}{9}=\dfrac{BM}{x}$, on déduit :
$BM=\dfrac{3x}{9}=\dfrac{x}{3} \qquad$(2)
En utilisant les égalités (1) et (2), on peut dire que les longueurs $FD$ et $BM$ sont donc égales lorsque :
$6-x=\dfrac{x}{3}$
$6=\dfrac{x}{3}+x$
$6=\dfrac{4}{3}x$
$\dfrac{4}{3}x=6$
$x=6\times \dfrac{3}{4}$
$x=4,5$
Les longueurs $BM$ et $FD$ sont donc égales lorsque $CF$ vaut $4,5$cm.