Tangentes communes

$f^{\prime}\left(x\right)=2x – 4$

$g^{\prime}\left(x\right)= – 2x+2$

Soit $A$ un point de $C_{f}$ d’abscisse $a$. La tangente à $C_{f}$ au point $A$ a pour équation :

$y=f^{\prime}\left(a\right)\left(x – a\right)+f\left(a\right)$

Ce qui donne :

$y=\left(2a – 4\right)x – \left(2a – 4\right)a+a^{2} – 4a+3$

$y=\left(2a – 4\right)x – a^{2}+3$

Soit $B$ un point de $C_{g}$ d’abscisse $b$. La tangente à $C_{g}$ au point $B$ a pour équation :

$y=g^{\prime}\left(b\right)\left(x – b\right)+g\left(b\right)$

Après calcul :

$y=\left( – 2b+2\right)x+b^{2} – 3$

Ces deux tangentes sont identiques si et seulement si :

$$\left\{ \begin{matrix} 2a – 4= – 2b+2 \\ – a^{2}+3=b^{2} – 3 \end{matrix}\right.$$

On obtient un système de 2 équations à 2 \inconnues. La première équation donne $a=3 – b$ puis par substitution dans la seconde:

$- \left(3 – b\right)^{2}+3=b^{2} – 3$

Soit : $2b^{2} – 6b+3=0$

Ce qui donne \les solutions :

$b_{1}=\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}$ et $b_{2}=\dfrac{3 – \sqrt{3}}{2}$

et comme $a=3 – b$

$a_{1}=\dfrac{3 – \sqrt{3}}{2}$ et $a_{2}=\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}$

Il suffit ensuite de remplacer $a$ par $a_{1}$ et $a_{2}$ dans l’équation de la \tangente à $C_{f}$ au point $A$ (ou de remplacer $b$ par $b_{1}$ et $b_{2}$ dans l’équation de la \tangente à $C_{g}$ au point $B$) pour trouver \les équations des \tangentes:

• $y=\left(\sqrt{3} – 1\right)x – \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

• $y=\left( – \sqrt{3} – 1\right)x+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$