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A la calculatrice, déterminer l’inverse de la matrice :
$$A=\begin{pmatrix} 5 & 2 & 7 \\ 2 & 1 & – 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$
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Résoudre \le système :
$$\left\{ \begin{matrix} 5x+2y+7z=2 \\ 2x+y – 3z=7 \\ x+2y+z=4 \end{matrix}\right.$$
Corrigé
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A la calculatrice, on trouve que la matrice $A$ est \inversible et :
$$A^{ – 1}=\begin{pmatrix} 7/46 & 6/23 & – 13/46 \\ – 5/46 & – 1/23 & 29/46 \\ 3/46 & – 4/23 & 1/46 \end{pmatrix}$$
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Si l’on pose $$X=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}$$ et $$B=\begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ 4\end{pmatrix}$$, \le système proposé est équivalent à :
$A\times X=B$
Les solutions sont obtenues en calculant $X=A^{ – 1}\times B$ (voir théorème) :
$$X=A^{ – 1}\times B=\begin{pmatrix} 7/46 & 6/23 & – 13/46 \\ – 5/46 & – 1/23 & 29/46 \\ 3/46 & – 4/23 & 1/46\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ – 1\end{pmatrix}$$
L’unique solution du système est donc \le triplet $\left(x; y; z\right) = \left(1; 2; – 1\right)$