Exercice 4
(5 points) – Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
On définit les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ par :
$u_0 = v_0 = 1$
et, pour tout entier naturel $n$ :
$u_{n+1} = 2u_n+3v_n$
et $v_{n+1} = 2u_n+v_n$
On admettra que les termes de ces suites sont des entiers naturels non nuls.
Partie A
Conjectures
Flore a calculé les premiers termes des suites à l’aide d’un tableur.
Une copie d’écran est donnée ci-dessous.
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Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des suites ?
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Soit $n$ un entier naturel.
Conjecturer la valeur de PGCD$\left(u_n~;~v_n\right)$. Aucune justification n’est demandée.
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Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Flore obtient les résultats suivants :
Elle émet la conjecture : « la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ converge ».
Qu’en penser ?
Partie B
Étude arithmétique
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Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a :
$2u_n – 3v_n = ( – 1)^{n+1}$.
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Soit $n$ un entier naturel.
Déduire de la question précédente la valeur de PGCD$\left(u_n~;~v_n\right)$.
Partie C
Étude matricielle
Pour tout entier naturel $n$, on définit :
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$$X_n = \begin{pmatrix}u_n \\ v_n\end{pmatrix}$$,
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$$P = \begin{pmatrix} 1&3 \\ – 1&2\end{pmatrix}$$ et $$Q_n = \begin{pmatrix}( – 1)^n&3 \times 2^{2n}\\( – 1)^{n+1}&2^{2n+1}\end{pmatrix}.$$
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Montrer que la matrice $$\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2& – 3\\1&1\end{pmatrix}$$ est l’\inverse de $P$.
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On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a $X_n = Q_nP^{ – 1} X_0$.
Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $$\left\{\begin{array}{l c l} u_n&=&\dfrac{( – 1)^{n+1}+ 3\times 2^{2n+1}}{5} \\ \\ v_n&=&\dfrac{( – 1)^{n}+ 2^{2n+2}}{5} \end{array}\right.$$
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Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $\dfrac{u_n}{v_n}= \dfrac{\dfrac{( – 1)^{n+1}}{2^{2n+1}}+ 3}{\dfrac{( – 1)^{n}}{2^{2n+1}}+ 2}$.
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En déduire la \limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$.
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