Suites et matrices – Bac S Pondichéry 2017 (spé)

Partie A

1. Les formules à saisir sont :

2. Dans la cellule B3 :

   =2*B2+3*C2

3. Dans la cellule C3 :

   =2*B2+C2

4. Au vu des premiers termes, on peut conjecturer que $ \text{PGCD}(u_n~;~v_n) = 1 $ pour tout entier naturel $ n $.

5. Le tableau montre que pour

   $ n=13 $, $ \dfrac{u_{13}}{v_{13}} \approx 1,5000000 $.

   La suite $ \left(\dfrac{u_{n}}{v_{n}}\right) $ semble effectivement converger vers $ 1,5 $ (ou $ \dfrac{3}{2} $).

Partie B

1. Soit $ \mathcal{P}_n $ la propriété : $ 2u_n - 3v_n = (-1)^{n+1} $.

   Initialisation :
   Pour $ n = 0 $ : $ 2u_0 - 3v_0 = 2(1) - 3(1) = -1 $ et $ (-1)^{0+1} = -1 $.
   La propriété est vraie au rang $ 0 $.

   Hérédité :
   Supposons que pour un entier $ n \geqslant 0 $, $ 2u_n - 3v_n = (-1)^{n+1} $.
   Calculons $ 2u_{n+1} - 3v_{n+1} $ :
   $ 2u_{n+1} - 3v_{n+1} = 2(2u_n + 3v_n) - 3(2u_n + v_n) $
   $ 2u_{n+1} - 3v_{n+1} = 4u_n + 6v_n - 6u_n - 3v_n $
   $ 2u_{n+1} - 3v_{n+1} = -2u_n + 3v_n $
   $ 2u_{n+1} - 3v_{n+1} = -(2u_n - 3v_n) $
   D'après l'hypothèse de récurrence :
   $ 2u_{n+1} - 3v_{n+1} = -(-1)^{n+1} = (-1)^{n+2} $.
   La propriété est donc vraie au rang $ n+1 $.

   Conclusion :
   La propriété est vraie pour $ n=0 $ et est héréditaire, donc pour tout entier naturel $ n $, $ 2u_n - 3v_n = (-1)^{n+1} $.

2. D'après la question précédente, on a la relation de Bézout :
   $ 2u_n - 3v_n = \pm 1 $
   Cela implique que $ 1 $ est une combinaison linéaire entière de $ u_n $ et $ v_n $.
   D'après le théorème de Bézout, $ u_n $ et $ v_n $ sont premiers entre eux.
   Ainsi, PGCD$ (u_n~;~v_n) = 1 $ .

Partie C

1. 1. Nommons

      $ M = \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2& - 3\\1&1\end{pmatrix} $.

      Calculons $ M \times P $ :

      $ M \times P = \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2 & -3 \\ 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 3 \\ -1 & 2\end{pmatrix} = \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2(1)+(-3)(-1) & 2(3)+(-3)(2) \\ 1(1)+1(-1) & 1(3)+1(2)\end{pmatrix} $

      $ M \times P = \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}5 & 0 \\ 0 & 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = I_2 $

      Donc la matrice donnée est bien l'inverse de $ P $.

   2. On a $ X_n = Q_n P^{-1} X_0 $. Or

      $ X_0 = \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} $.

      Calculons $ P^{-1} X_0 $ :

      $ P^{-1} X_0 = \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2 & -3 \\ 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} = \dfrac{1}{5} \begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix} $

      Maintenant calculons $ X_n = Q_n \begin{pmatrix}-1/5 \\ 2/5\end{pmatrix} $ :

      $ X_n = \begin{pmatrix}(-1)^n & 3 \times 2^{2n} \\ (-1)^{n+1} & 2^{2n+1}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1/5 \\ 2/5\end{pmatrix} $

      $ u_n = (-1)^n \times \left(-\dfrac{1}{5}\right) + (3 \times 2^{2n}) \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{-(-1)^n + 3 \times 2^{2n+1}}{5} = \dfrac{(-1)^{n+1} + 3 \times 2^{2n+1}}{5} $

      $ v_n = (-1)^{n+1} \times \left(-\dfrac{1}{5}\right) + (2^{2n+1}) \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{-(-1)^{n+1} + 2^{2n+2}}{5} = \dfrac{(-1)^{n} + 2^{2n+2}}{5} $

      On retrouve bien les expressions demandées.

2. 1. En partant de l'expression de $ u_n $ et $ v_n $ et en factorisant par $ 2^{2n+1} $ :

      $ \dfrac{u_n}{v_n} = \dfrac{\dfrac{(-1)^{n+1} + 3 \times 2^{2n+1}}{5}}{\dfrac{(-1)^{n} + 2^{2n+2}}{5}} = \dfrac{(-1)^{n+1} + 3 \times 2^{2n+1}}{(-1)^{n} + 2 \times 2^{2n+1}} $

      En divisant le numérateur et le dénominateur par $ 2^{2n+1} $, on obtient:

      $ \dfrac{u_{n}}{v_{n}} = \dfrac{\dfrac{(-1)^{n+1}}{2^{2n+1}} + 3}{\dfrac{(-1)^{n}}{2^{2n+1}} + 2} $

   2. Comme $ |-1| < 2^{2} $, on a

      $ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{2^{2n+1}} = 0 $ et $ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{(-1)^{n}}{2^{2n+1}} = 0 $.

      Par quotient des limites :

      $ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{u_n}{v_n} = \dfrac{0+3}{0+2} = \dfrac{3}{2} = 1,5 $

      Ceci confirme la conjecture de la partie A.