Suites – Contrôle continu 1ère – 2020 – Sujet zéro
Exercice 4 (5 points)
En traversant une plaque de verre teintée, un rayon lumineux perd 20 % de son intensité lumineuse. L'intensité lumineuse est exprimée en candela ( cd ).
On utilise une lampe torche qui émet un rayon d'intensité lumineuse réglée à 400 cd.
On superpose $ n $ plaques de verre identiques ( $ n $ étant un entier naturel ) et on désire mesurer l'intensité lumineuse $ I_{ n } $ du rayon à la sortie de la $ n $-ième plaque.
On note $ I_{ 0 }=400 $ l'intensité lumineuse du rayon émis par la lampe torche avant de traverser les plaques ( intensité lumineuse initiale ). Ainsi, cette situation est modélisée par la suite $ ( I_{ n } ). $
- Montrer par un calcul que $ I_{ 1 }=320. $
- Pour tout entier naturel $ n $ , exprimer $ I_{ n+1 } $ en fonction de $ I_{ n }. $
- En déduire la nature de la suite $ ( I_{ n } ). $ Préciser sa raison et son premier terme.
- Pour tout entier naturel $ n $ , exprimer $ I_{ n } $ en fonction de $ n. $
On souhaite déterminer le nombre minimal $ n $ de plaques à superposer afin que le rayon initial ait perdu au moins 70 % de son intensité lumineuse initiale après sa traversée des plaques.
Afin de déterminer le nombre de plaques à superposer, on considère la fonction Python suivante :
def nombrePlaques(J): I=400 n=0 while I > J: I = 0.8*I n = n+1 return n- Préciser, en justifiant, le nombre J de sorte que l'appel nombrePlaques(J) renvoie le nombre de plaques à superposer.
Le tableau suivant donne des valeurs de $ I_{ n }. $ Combien de plaques doit-on superposer ?
$ n $ 0 1 2 3 4 5 6 7 $ I_{ n } $ 400 320 256 204,8 163,84 131,07 104,85 83,886
Corrigé
- Le coefficient multiplicateur correspondant à une baisse de 20 % est :
$ CM=1 - \dfrac{ 20 }{ 100 }=0,8 $
L'intensité lumineuse $ I_{ 1 } $ à la sortie de la première plaque est donc :
$ I_{ 1 }=0,8 \times I_{ 0 }=0,8 \times 400=320 $
Remarque :On aurait également pu calculer la diminution de l'intensité lumineuse qui est égale à $ \dfrac{ 20 }{ 100 } \times 400=80 $, puis la nouvelle intensité $ I_{ 1 }=400 - 80=320 $ . Mais il est préférable de s'habituer à utiliser le coefficient multiplicateur qui facilite les calculs lors d'augmentation ou de diminution en pourcentage. - De même, le raisonnement précédent indique que, pour tout entier naturel $ n $ :
$ I_{ n+1 }=0,8 \times I_{ n }. $ - La formule précédente prouve que la suite $ ( I_{ n } ) $ est une suite géométrique de raison $ q=0,8 $ ; son premier terme est $ I_{ 0 }=400. $
D'après le cours, le n-ième terme d'une suite géométrique de premier terme $ u_{ 0 } $ et de raison $ q $ est donné par la formule :
$ u_{ n }=u_{ 0 } \times q{}^{ n } $On obtient ici :
$ I_{ n }=I_{ 0 } \times q{}^{ n }=400 \times 0,8{}^{ n } $
- De même, le raisonnement précédent indique que, pour tout entier naturel $ n $ :
- L'appel à la fonction Python nombrePlaques( ) avec l'argument J renvoie le nombre minimal de plaques à superposer afin que l'intensité lumineuse du rayon à la sortie de la n-ième plaque soit inférieure ou égale à J.
Puisque l'on veut que le rayon initial perde au moins 70 % de son intensité lumineuse, il faut que l'intensité lumineuse à la sortie de la n-ième plaque soit inférieure à 30 % de $ I_{ 0 } $ c'est-à-dire inférieure à $ \dfrac{ 30 }{ 100 } \times 400=120. $
Il faut donc choisir le nombre J = 120, pour obtenir, en sortie de la fonction nombrePlaques( ), le nombre de plaques à superposer. - Le tableau montre qu'il faut choisir 6 plaques pour obtenir une intensité lumineuse inférieure ou égale à 120 cd.
- L'appel à la fonction Python nombrePlaques( ) avec l'argument J renvoie le nombre minimal de plaques à superposer afin que l'intensité lumineuse du rayon à la sortie de la n-ième plaque soit inférieure ou égale à J.