Logo maths-cours.fr
Connexion Inscription
Logo maths-cours.fr
Connexion Inscription

Suites – Contrôle continu 1ère – 2020 – Sujet zéro

Exercices

Exercice 4 (5 points)

En traversant une plaque de verre teintée, un rayon lumineux perd 20 % de son intensité lumineuse. L’intensité lumineuse est exprimée en candela ( cd ).

On utilise une lampe torche qui émet un rayon d’intensité lumineuse réglée à 400 cd.

On superpose $n$ plaques de verre identiques ( $n$ étant un entier naturel ) et on désire mesurer l’intensité lumineuse $I_{ n }$ du rayon à la sortie de la $n$-ième plaque.

On note $I_{ 0 }=400$ l’intensité lumineuse du rayon émis par la lampe torche avant de traverser les plaques ( intensité lumineuse initiale ). Ainsi, cette situation est modélisée par la suite $( I_{ n } ).$

  1. Montrer par un calcul que $I_{ 1 }=320.$

    1. Pour tout entier naturel $n$ , exprimer $I_{ n+1 }$ en fonction de $I_{ n }.$

    2. En déduire la nature de la suite $( I_{ n } ).$ Préciser sa raison et son premier terme.

    3. Pour tout entier naturel $n$ , exprimer $I_{ n }$ en fonction de $n.$

  3. On souhaite déterminer le nombre minimal $n$ de plaques à superposer afin que le rayon initial ait perdu au moins 70 % de son intensité lumineuse initiale après sa traversée des plaques.

    1. Afin de déterminer le nombre de plaques à superposer, on considère la fonction Python suivante :

      def nombrePlaques(J):
	I=400
	n=0
	while I > J:
		I = 0.8*I
		n = n+1
	return n

      Préciser, en justifiant, le nombre J de sorte que l’appel nombrePlaques(J) renvoie le nombre de plaques à superposer.

    2. Le tableau suivant donne des valeurs de $I_{ n }.$ Combien de plaques doit-on superposer ?

      $n$ 0 1 2 3 4 5 6 7
      $I_{ n }$ 400 320 256 204,8 163,84 131,07 104,85 83,886

Corrigé

  1. Le coefficient multiplicateur correspondant à une baisse de 20 % est :

    $CM=1 – \dfrac{ 20 }{ 100 }=0,8$

    L’intensité lumineuse $I_{ 1 }$ à la sortie de la première plaque est donc :

    $I_{ 1 }=0,8 \times I_{ 0 }=0,8 \times 400=320$

    Remarque : On aurait également pu calculer la diminution de l’intensité lumineuse qui est égale à $\dfrac{ 20 }{ 100 } \times 400=80$, puis la nouvelle intensité $I_{ 1 }=400 – 80=320$ . Mais il est préférable de s’habituer à utiliser le coefficient multiplicateur qui facilite les calculs lors d’augmentation ou de diminution en pourcentage.

    1. De même, le raisonnement précédent indique que, pour tout entier naturel $n$  :
      $I_{ n+1 }=0,8 \times I_{ n }.$

    2. La formule précédente prouve que la suite $( I_{ n } )$ est une suite géométrique de raison $q=0,8$ ; son premier terme est $I_{ 0 }=400.$

    3. D’après le cours, le n-ième terme d’une suite géométrique de premier terme $u_{ 0 }$ et de raison $q$ est donné par la formule :

      $u_{ n }=u_{ 0 } \times q{}^{ n }$

      On obtient ici :

      $I_{ n }=I_{ 0 } \times q{}^{ n }=400 \times 0,8{}^{ n }$

    1. L’appel à la fonction Python nombrePlaques( ) avec l’argument J renvoie le nombre minimal de plaques à superposer afin que l’intensité lumineuse du rayon à la sortie de la n-ième plaque soit inférieure ou égale à J.

      Puisque l’on veut que le rayon initial perde au moins 70 % de son intensité lumineuse, il faut que l’intensité lumineuse à la sortie de la n-ième plaque soit inférieure à 30 % de $I_{ 0 }$ c’est-à-dire inférieure à $\dfrac{ 30 }{ 100 } \times 400=120.$

      Il faut donc choisir le nombre J = 120, pour obtenir, en sortie de la fonction nombrePlaques( ), le nombre de plaques à superposer.

    2. Le tableau montre qu’il faut choisir 6 plaques pour obtenir une intensité lumineuse inférieure ou égale à 120 cd.

← Retour au chapitre