Exercice 4 5 points
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
On considère la suite $\left(z_{n}\right)$ à termes complexes définie par : $z_{0}=1+i$ et, pour tout entier naturel $n$, par
$z_{n+1}= \dfrac{z_{n}+|z_{n}|}{3}.$
Pour tout entier naturel $n$, on pose : $z_{n}=a_{n}+ib_{n}$, où $a_{n}$ est la partie réelle de $z_{n}$ et $b_{n}$ est la partie imaginaire de $z_{n}$.
Le but de cet exercice est d’étudier la convergence des suites $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$.
Partie A
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Donner $a_{0}$ et $b_{0}$.
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Calculer $z_{1}$, puis en déduire que $a_{1}=\dfrac{1 +\sqrt{2}}{3}$ et $b_{1}=\dfrac{1}{3}$.
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On considère l’algorithme suivant :
Variables : A et B des nombres réels K et N des nombres entiers Initialisation : Affecter à A la valeur 1 Affecter à B la valeur 1 Traitement : Entrer la valeur de N Pour K variant de 1 à N $\quad$Affecter à A la valeur $\dfrac{A +\sqrt{A^{2}+B^{2}}}{3}$ $\quad$Affecter à B la valeur $\dfrac{B}{3}$. Fin Pour Afficher A -
On exécute cet algorithme en saisissant $N=2$. Recopier et compléter le tableau ci-dessous contenant l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme (on arrondira les valeurs calculées à $10^{ – 4}$ près).
K A B 1 2 -
Pour un nombre N donné, à quoi correspond la valeur affichée par l’algorithme par rapport à la situation étudiée dans cet exercice
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Partie B
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Pour tout entier naturel $n$, exprimer $z_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$ et $b_{n}$.
En déduire l’expression de $a_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$ et $b_{n}$, et l’expression de $b_{n+1}$ en fonction de $b_{n}$.
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Quelle est la nature de la suite $\left(b_{n}\right)$ ? En déduire l’expression de $b_{n}$ en fonction de $n$, et déterminer la limite de la suite $\left(b_{n}\right)$.
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On rappelle que pour tous nombres complexes $z$ et $z^{\prime}$ :
$|z+z^{\prime}|\leqslant |z|+|z^{\prime}|$ (inégalité triangulaire).
Montrer que pour tout entier naturel $n$,
$|z_{n +1}|\leqslant \dfrac{2|z_{n}|}{3}.$
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Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_{n}=|z_{n}|$.
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$,
$u_{n}\leqslant \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} \sqrt{2}.$
En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers une limite que l’on déterminera.
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Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $|a_{n}| \leqslant u_{n}$.
En déduire que la suite $\left(a_{n}\right)$ converge vers une limite que l’on déterminera
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