Pour son appartement, Alexandre paye, tous les mois, un loyer brut et des charges locatives. On appelle loyer net, la somme du loyer brut et des charges locatives.
En 2016, le loyer brut était de 450 euros (mensuel) et les charges de 60 euros (mensuel).
Au premier janvier de chaque année, le loyer brut mensuel augmente de 1,5 % et les charges locatives mensuelles augmentent de 1€.
On note :
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$b_n$ : le total des loyers bruts (en euros) pour l’année 2016 + $n$
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$c_n$ : le total des charges (en euros) pour l’année 2016 + $n$
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$l_n$ : le total des loyers nets (en euros) pour l’année 2016 + $n$.
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Calculer $b_0$ et $c_0$.
En déduire que $l_0=6120$.
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Calculer $b_1, c_1$ et $l_1$ puis $b_2, c_2$ et $l_2$.
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Exprimer $b_{n+1}$ en fonction de $b_n$, puis $c_{n+1}$ en fonction de $c_n$.
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Pour chacune des suites $(b_n), (c_n)$ et $(l_n)$ indiquer s’il s’agit d’une suite arithmétique, d’une suite géométrique ou d’une suite qui n’est ni arithmétique ni géométrique.
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Exprimer $b_n, c_n$ puis $l_n$ en fonction de $n$.
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Quel sera le total des loyers nets payés par Alexandre au cours des dix premières années (de 2016 à 2025) ?
Corrigé
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En 2016, Alexandre paiera 450 euros de loyer brut tous les mois donc le total en euros sera :
$b_0=12 \times 450=5400$
De même, le total en euros des charges locatives pour 2016 sera :
$c_0=12 \times 60=720$
Le total des loyers nets s’obtiendra en faisant la somme des loyers bruts et des charges locatives :
$l_0=b_0+c_0=5400+720=6120$
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Augmenter un montant de $1,5$% revient à multiplier ce montant par $1,015$.
Le montant des loyers bruts mensuels en 2017 sera donc de $450 \times 1,015 = 456,75$ euros et le total annuel des loyers bruts :
$b_1=450 \times 1,015 \times 12 = 5481$
On remarque que pour obtenir $b_1$ il suffit de multiplier $b_0$ par $1,015$.
En 2017, Alexandre paiera $1$ euro de charges supplémentaires tous les mois. Sur l’année, il paiera donc $12$ euros de charges de plus qu’en 2016.
Le total des charges locatives en euros pour l’année 2017 sera donc :
$c_1=c_0+12=720+12=732$
Le total des loyers nets pour 2012 sera :
$l_1=b_1+c_1=5481+732=6213$
Un raisonnement analogue permet de calculer les montants des loyers et des charges en 2018 :
$b_2=b_1 \times 1,015=5563,215$ (ou $5563,22$ arrondi au centime)
$c_2=c_1+12=732+12=744$
$l_2=b_2+c_2=6307,215$ (ou $6307,22$ arrondi au centime)
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Les loyers bruts de l’année de rang $n+1$ s’obtiennent en multipliant les loyers bruts de l’année de rang $n$ par $1,015$. On a donc :
$b_{n+1}=1,015 \times b_n$
Les charges de l’année de rang $n+1$ s’obtiennent en ajoutant $12$ aux charges de l’année de rang $n$. Par conséquent :
$c_{n+1}=c_n+12$
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D’après les questions précédentes:
$(b_n)$ est une suite géométrique de premier terme $b_0=5400$ et de raison $1,015$.
$(c_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $c_0=720$ et de raison $12$.
Montrons que la suite $(l_n)$ n’est ni arithmétique ni géométrique :
$l_1 – l_0=6213 – 6120=93$
$l_2 – l_1=6307,215 – 6213=94,215$
La différence entre deux termes consécutifs n’est pas constante donc la suite $(l_n)$ n’est pas arithmétique.
$\dfrac{l_1}{l_0} = \dfrac{6213}{6120} \approx 1,01520$ (à $10^{^ – 5}$ près)
$\dfrac{l_2}{l_1} = \dfrac{6307,215}{6213} \approx 1,01516$ (à $10^{^ – 5}$ près)
Le quotient de deux termes consécutifs n’est pas constant donc la suite $(l_n)$ n’est pas géométrique.
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La suite $(b_n)$ est une suite géométrique de premier terme $b_0=5400$ et de raison $q=1,015$, par conséquent :
$b_n=b_0 \times q^n=5400 \times 1,015^n$
La suite $(c_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $c_0=720$ et de raison $r=12$, donc :
$c_n=c_0 + n r=720 + 12n$
$l_n$ est la somme de $b_n$ et $c_n$ :
$l_n=5400 \times 1,015^n+720+12n$
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Le total des loyers bruts lors des 10 premières années est :
$B=b_0+b_1+ \cdots +b_9$
$\phantom{B}=5400+5400 \times 1,015 + \cdots +5400 \times 1,015^9$
$\phantom{B}=5400(1+1,015 + \cdots +1,015^9)$
donc d’après la formule $1+q+q^2+\cdots+q^n= \dfrac{1 – q^{n+1}}{1 – q}$ :
$B=5400 \times \dfrac{1 – 1.015^{10}}{1 – 1.015}$
$\phantom{B} \approx 57794,70$ (au centime près)
Le total des charges locatives lors des 10 premières années est :
$C=c_0+c_1+ \cdots +c_9$
$C=720+ 720+12 \times 1+ 720+12 \times 2 +$$\cdots +720+12 \times 9$
On regroupe les termes égaux à $720$; il y en a 10, donc :
$C=720\times 10+12 \times 1+12 \times 2 + \cdots +12 \times 9$
$\phantom{C}=7200+12 (1+2+\cdots +9)$
On applique la formule $1+2+\cdots +n= \dfrac{n(n+1)}{2}$ :
$C=7200+12\times \dfrac{9\times 10}{2} = 7740$
Le total des loyers nets que paiera Alexandre au cours des 10 premières années est donc :
$L=B+C=57794,70+7740=65534,70$ euros