Exercice 3
Enseignement de spécialité
Partie A : Restitution organisée de connaissances
Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.
Partie B
On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat :
« Si $p$ est un nombre premier et $q$ un entier naturel premier avec $p$, alors
$q^{p – 1}\equiv 1$ (modulo $p$) ».
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par :
$u_{n}=2^{n}+3^{n}+6^{n} – 1$.
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Calculer les six premiers termes de la suite.
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Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n}$ est pair.
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Montrer que, pour tout entier naturel $n$ pair non nul, $u_{n}$ est divisible par 4.
On note (E) l’ensemble des nombres premiers qui divisent au moins un terme de la suite $\left(u_{n}\right)$.
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Les entiers 2, 3, 5 et 7 appartiennent-ils à l’ensemble (E) ?
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Soit $p$ un nombre premier strictement supérieur à 3.
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Montrer que : $6 \times 2^{p – 2}\equiv 3\ \ (\text{modulo}\ p)$ et $6 \times 3^{p – 2}\equiv 2 \ \ (\text{modulo}\ p)$.
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En déduire que $6u_{p – 2}\equiv 0 \ \ (\text{modulo}\ p)$.
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Le nombre $p$ appartient-il à l’ensemble (E) ?
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