Somme de puissances et congruences

L'astuce consiste à remarquer que $ 3^3=27 $ est congru à $ 2 $ modulo $ 25 $ et à se ramener à des puissances de $ 2 $ $ 3^3 = 27 \equiv 2 \ (\text{mod.}\ 25) $
Par conséquent, en élevant chaque membre à la puissance $ n $ :

$ 3^{3n} \equiv 2^n \ (\text{mod.}\ 25) $

Et en multipliant par $ 3^2 $ :

$ 3^{3n} \times 3^2 \equiv 2^n \times 3^2 \ (\text{mod.}\ 25) $

$ 3^{3n+2} \equiv 9 \times 2^n\ (\text{mod.}\ 25) $

Il suffit maintenant d'ajouter $ 2^{n +4} $ à chaque membre :

$ 3^{3n+2} + 2^{n +4} \equiv 9 \times 2^n + 2^{n +4} \ (\text{mod.}\ 25) $

$ 3^{3n+2} + 2^{n +4} \equiv 9 \times 2^n + 2^{n} \times 2^4 \ (\text{mod.}\ 25) $

$ 3^{3n+2} + 2^{n +4} \equiv 9 \times 2^n + 2^{n} \times 16 \ (\text{mod.}\ 25) $

$ 3^{3n+2} + 2^{n +4} \equiv 25 \times 2^n \ (\text{mod.}\ 25) $

Et comme $ 25 \times 2^n $ est divisible par $ 25 $, $ 2^{n +4}+3^{3n+2} $ l'est aussi.