Trouver tous les entiers naturels $m$ et $n$ tels que $m^{2} – n^{2}=24$
Corrigé
L’équation $m^{2} – n^{2}=24$ peut s’écrire $\left(m – n\right)\left(m+n\right)=24$.
Cela entraîne que $m – n$ et $m+n$ divisent $24$.
Or les diviseurs de $24$ sont $1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24$.
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Si $m – n=1$ et $m+n=24$ alors, en additionnant membre à membre ces deux égalités, $2m=25$. Cette équation n’a pas de solution dans $\mathbb{N}$
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Si $m – n=2$ et $m+n=12$ alors $2m=14$ donc $m=7$ et $n=12 – m=5$. Le couple $\left(m ; n\right) = \left(7 ; 5\right)$ est donc une solution.
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Si $m – n=3$ et $m+n=8$ alors $2m=11$ qui n’a pas de solution dans $\mathbb{N}$
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Si $m – n=4$ et $m+n=6$ alors $2m=10$ donc $m=5$ et $n=6 – m=1$. Le couple $\left(m ; n\right) = \left(5 ; 1\right)$ est donc une solution.
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Les autres possibilités ne peuvent fournir de solutions puisque, $m$ et $n$ étant des entiers naturels, $m+n$ doit être supérieur à $m – n$.
Finalement, les couples d’entiers naturels $\left(m ; n\right)$ tels que $m^{2} – n^{2}=24$ sont $\left(7 ; 5\right)$ et $\left(5 ; 1\right)$.