[ROC] Propriétés algébriques de la fonction exponentielle
Théorème
Pré-requis
- La fonction exponentielle (notée $ \text{exp} $) est l'unique fonction dérivable sur $ \mathbb{R} $ telle que :
$ \text{exp}^{\prime}=\text{exp} $
$ \text{exp}\left(0\right)=1 $
La fonction exponentielle est strictement croissante et strictement positive sur $ \mathbb{R} $. - On utilisera également le résultat suivant :
Si $ f $ est une fonction dérivable sur $ \mathbb{R} $, alors la fonction $ x\mapsto f\left(ax+b\right) $ est dérivable sur $ \mathbb{R} $ et sa dérivée est la fonction $ x\mapsto af^{\prime}\left(ax+b\right) $
Soit $ a $ un réel quelconque et $ f $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par $ f\left(x\right)=\dfrac{\text{exp}\left(x+a\right)}{\text{exp}\left(a\right)} $.
- Montrer que pour tout $ x \in \mathbb{R} : f^{\prime}\left(x\right)=f\left(x\right) $.
- Calculer $ f\left(0\right) $. Que peut-on en conclure pour la fonction $ f $ ?
En déduire que pour tous réels $ a $ et $ b $ : $ \text{exp}\left(a+b\right)=\text{exp}\left(a\right)\times \text{exp}\left(b\right) $. - Montrer que pour tout réel $ a $ : $ \text{exp}\left( - a\right)=\dfrac{1}{\text{exp}\left(a\right)} $
En déduire que pour tous réels $ a $ et $ b $ : $ \text{exp}\left(a - b\right)=\dfrac{\text{exp}\left(a\right)}{\text{exp}\left(b\right)} $. - Démontrer par récurrence que pour tout $ n \in \mathbb{N} $ :
$ \text{exp}\left(na\right) = \left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n} $ - A l'aide des questions précédentes, montrer que pour tout $ n \in \mathbb{N} $ :
$ \text{exp}\left( - na\right) = \left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{ - n} $
En déduire que l'égalité $ \text{exp}\left(na\right) = \left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n} $ est vraie pour tout $ n \in \mathbb{Z} $
Corrigé
D'après les prérequis, la dérivée de la fonction $ x\mapsto \text{exp}\left(x+a\right) $ est la fonction $ x\mapsto \text{exp}\left(x+a\right) $ (c'est à dire elle-même).
Par conséquent :
$ f^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{\text{exp}\left(x+a\right)}{\text{exp}\left(a\right)}=f\left(x\right) $
(Remarque : pas besoin d'utiliser la formule $ \left(\dfrac{u}{v}\right)^{\prime}=\dfrac{u^{\prime}v - uv^{\prime}}{v^{2}} $ car le dénominateur est une constante)
$ f\left(0\right)=\dfrac{\text{exp}\left(0+a\right)}{\text{exp}\left(a\right)}=1 $
La fonction $ f $ est égale à sa dérivée et vérifie $ f\left(0\right)=1 $. Or, d'après le prérequis a. la fonction exponentielle est la seule a vérifier ces deux conditions. Donc pour tout $ x \in \mathbb{R} $ :
$ f\left(x\right)=\text{exp}\left(x\right) $
En posant $ x=b $ on obtient :
$ f\left(b\right)=\dfrac{\text{exp}\left(b+a\right)}{\text{exp}\left(a\right)}=\text{exp}\left(b\right) $
Par conséquent : $ \text{exp}\left(a+b\right)=\text{exp}\left(a\right)\times \text{exp}\left(b\right) $
Remarque
La formule précédente est vrai pour tous réels $ a $ et $ b $. Cela signifie qu'on va pouvoir remplacer $ a $ et$ b $ par n'importe quel nombre réel (opération que l'on fera souvent dans les questions qui suivent...)
En faisant $ b= - a $ dans l'égalité précédente on obtient :
$ \text{exp}\left(a - a\right)=\text{exp}\left(a\right)\times \text{exp}\left( - a\right) $
$ \text{exp}\left(0\right)=\text{exp}\left(a\right)\times \text{exp}\left( - a\right) $
$ 1=\text{exp}\left(a\right)\times \text{exp}\left( - a\right) $
$ \dfrac{1}{\text{exp}\left(a\right)}=\text{exp}\left( - a\right) $
En remplaçant cette fois $ b $ par $ - b $ dans le résultat de la question 2. on obtient :
$ \text{exp}\left(a - b\right)=\text{exp}\left(a\right)\times \text{exp}\left( - b\right) $
et d'après le résultat précédent : $ \text{exp}\left( - b\right)=\dfrac{1}{\text{exp}\left(b\right)} $
par conséquent :
$ \text{exp}\left(a - b\right)=\dfrac{\text{exp}\left(a\right)}{\text{exp}\left(b\right)} $
Initialisation : La propriété que l'on souhaite démontrer est vraie pour $ n=0 $ car :
$ \text{exp}\left(0a\right) = \text{exp}\left(0\right) = 1 $
$ \left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{0} = 1 $ (n'importe quel réel non nul à la puissance zéro donne $ 1 $)
donc: $ \text{exp}\left(0a\right) =\left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{0} $
Hérédité Supposons que pour un certain entier $ n $, $ \text{exp}\left(na\right) =\left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n} $ («hypothèse de récurrence»)
Alors :
$ \text{exp}\left(\left(n+1\right)a\right)=\text{exp}\left(na+a\right)=\text{exp}\left(na\right)\times \text{exp}\left(a\right) $ d'après 2. $ \text{exp}\left(\left(n+1\right)a\right)=\left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n}\times \text{exp}\left(a\right) $ (d'après l'hypothèse de récurrence)
$ \text{exp}\left(\left(n+1\right)a\right)=\left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n+1} $ (propriété des puissances)
Ceci montre par récurrence que pour tout $ n \in \mathbb{N} $ :
$ \text{exp}\left(na\right) = \left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n} $
$ \text{exp}\left( - na\right) = \dfrac{1}{\text{exp}\left(na\right)} $ (d'après 3.)
$ \text{exp}\left( - na\right) = \dfrac{1}{\left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n}} $ (d'après 4.)
$ \text{exp}\left( - na\right) = \left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{ - n} $ (propriété des puissances)
Soit $ n \in \mathbb{Z} $.
Si $ n\geqslant 0 $, $ \text{exp}\left(na\right) = \left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n} $ d'après 4. Si $ n < 0 $, on pose $ n= - n^{\prime} $ :
$ \text{exp}\left(na\right) = \text{exp}\left( - n^{\prime}a\right)=\left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{ - n^{\prime}} $ (d'après le calcul ci-dessus)
$ \text{exp}\left(na\right) = \left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n} $
Par conséquent, l'égalité $ \text{exp}\left(na\right) = \left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n} $ est vraie pour tout $ n \in \mathbb{Z} $