Pré-requis
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La fonction exponentielle (notée $\exp$) est l’unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que :
$\exp^{\prime}=\exp$
$\exp\left(0\right)=1$La fonction exponentielle est strictement croissante et strictement positive sur $\mathbb{R}$.
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On utilisera également le résultat suivant :
Si $f$ est une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$, alors la fonction $x\mapsto f\left(ax+b\right)$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée est la fonction $x\mapsto af^{\prime}\left(ax+b\right)$
Soit $a$ un réel quelconque et $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f\left(x\right)=\dfrac{\exp\left(x+a\right)}{\exp\left(a\right)}$.
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Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R} : f^{\prime}\left(x\right)=f\left(x\right)$.
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Calculer $f\left(0\right)$. Que peut-on en conclure pour la fonction $f$ ?
En déduire que pour tous réels $a$ et $b$ : $\exp\left(a+b\right)=\exp\left(a\right)\times \exp\left(b\right)$.
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Montrer que pour tout réel $a$ : $\exp\left( – a\right)=\dfrac{1}{\exp\left(a\right)}$
En déduire que pour tous réels $a$ et $b$ : $\exp\left(a – b\right)=\dfrac{\exp\left(a\right)}{\exp\left(b\right)}$.
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Démontrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
$\exp\left(na\right) = \left(\exp\left(a\right)\right)^{n}$ -
A l’aide des questions précédentes, montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
$\exp\left( – na\right) = \left(\exp\left(a\right)\right)^{ – n}$En déduire que l’égalité $\exp\left(na\right) = \left(\exp\left(a\right)\right)^{n}$ est vraie pour tout $n \in \mathbb{Z}$
Corrigé
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D’après les prérequis, la dérivée de la fonction $x\mapsto \exp\left(x+a\right)$ est la fonction $x\mapsto \exp\left(x+a\right)$ (c’est à dire elle-même).
Par conséquent :
$f^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{\exp\left(x+a\right)}{\exp\left(a\right)}=f\left(x\right)$
(Remarque : pas besoin d’utiliser la formule $\left(\dfrac{u}{v}\right)^{\prime}=\dfrac{u^{\prime}v – uv^{\prime}}{v^{2}}$ car le dénominateur est une constante)
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$f\left(0\right)=\dfrac{\exp\left(0+a\right)}{\exp\left(a\right)}=1$
La fonction $f$ est égale à sa dérivée et vérifie $f\left(0\right)=1$. Or, d’après le prérequis a. la fonction exponentielle est la seule a vérifier ces deux conditions. Donc pour tout $x \in \mathbb{R}$ :
$f\left(x\right)=\exp\left(x\right)$
En posant $x=b$ on obtient :
$f\left(b\right)=\dfrac{\exp\left(b+a\right)}{\exp\left(a\right)}=\exp\left(b\right)$
Par conséquent : $\exp\left(a+b\right)=\exp\left(a\right)\times \exp\left(b\right)$
Remarque
La formule précédente est vrai pour tous réels $a$ et $b$. Cela signifie qu’on va pouvoir remplacer $a$ et$b$ par n’importe quel nombre réel (opération que l’on fera souvent dans les questions qui suivent…)
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En faisant $b= – a$ dans l’égalité précédente on obtient :
$\exp\left(a – a\right)=\exp\left(a\right)\times \exp\left( – a\right)$
$\exp\left(0\right)=\exp\left(a\right)\times \exp\left( – a\right)$
$1=\exp\left(a\right)\times \exp\left( – a\right)$
$\dfrac{1}{\exp\left(a\right)}=\exp\left( – a\right)$
En remplaçant cette fois $b$ par $- b$ dans le résultat de la question 2. on obtient :
$\exp\left(a – b\right)=\exp\left(a\right)\times \exp\left( – b\right)$
et d’après le résultat précédent : $\exp\left( – b\right)=\dfrac{1}{\exp\left(b\right)}$
par conséquent :
$\exp\left(a – b\right)=\dfrac{\exp\left(a\right)}{\exp\left(b\right)}$
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Initialisation :
La propriété que l’on souhaite démontrer est vraie pour $n=0$ car :$\exp\left(0a\right) = \exp\left(0\right) = 1$
$\left(\exp\left(a\right)\right)^{0} = 1$ (n’importe quel réel non nul à la puissance zéro donne $1$)
donc: $\exp\left(0a\right) =\left(\exp\left(a\right)\right)^{0}$
Hérédité
Supposons que pour un certain entier $n$, $\exp\left(na\right) =\left(\exp\left(a\right)\right)^{n}$ («hypothèse de récurrence»)Alors :
$\exp\left(\left(n+1\right)a\right)=\exp\left(na+a\right)=\exp\left(na\right)\times \exp\left(a\right)$ d’après 2.
$\exp\left(\left(n+1\right)a\right)=\left(\exp\left(a\right)\right)^{n}\times \exp\left(a\right)$ (d’après l’hypothèse de récurrence)$\exp\left(\left(n+1\right)a\right)=\left(\exp\left(a\right)\right)^{n+1}$ (propriété des puissances)
Ceci montre par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
$\exp\left(na\right) = \left(\exp\left(a\right)\right)^{n}$
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$\exp\left( – na\right) = \dfrac{1}{\exp\left(na\right)}$ (d’après 3.)
$\exp\left( – na\right) = \dfrac{1}{\left(\exp\left(a\right)\right)^{n}}$ (d’après 4.)
$\exp\left( – na\right) = \left(\exp\left(a\right)\right)^{ – n}$ (propriété des puissances)
Soit $n \in \mathbb{Z}$.
Si $n\geqslant 0$, $\exp\left(na\right) = \left(\exp\left(a\right)\right)^{n}$ d’après 4.
Si $n < 0$, on pose $n= - n^{\prime}$ :$\exp\left(na\right) = \exp\left( – n^{\prime}a\right)=\left(\exp\left(a\right)\right)^{ – n^{\prime}}$ (d’après le calcul ci-dessus)
$\exp\left(na\right) = \left(\exp\left(a\right)\right)^{n}$
Par conséquent, l’égalité $\exp\left(na\right) = \left(\exp\left(a\right)\right)^{n}$ est vraie pour tout $n \in \mathbb{Z}$