Prérequis : On suppose connue la formule des probabilités totales.
Montrer que si $A$ et $B$ sont deux événements indépendants, alors $A$ et $\overline{B}$ sont aussi indépendants.
Corrigé
Si $A$ et $B$ sont deux événements indépendants, alors :
$p\left(A\cap B\right)=p\left(A\right)\times p\left(B\right)$
D’après la formule des probabilités totales : $p\left(A\right)=p\left(A\cap B\right)+p\left(A\cap \overline{B}\right)$
Par conséquent :
$p\left(A\cap \overline{B}\right)=p\left(A\right)-p\left(A\cap B\right)=p\left(A\right)-p\left(A\right)\times p\left(B\right)=p\left(A\right)\left(1-p\left(B\right)\right)$
Or $1-p\left(B\right)=p\left(\overline{B}\right)$ donc $p\left(A\cap \overline{B}\right)=p\left(A\right)\times p\left(\overline{B}\right)$, ce qui prouve que $A$ et $\overline{B}$ sont indépendants.