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Qu’appelle-t-on «racine» d’un polynôme $P$?
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A quoi est égal le discriminant du polynôme $P\left(x\right)=ax^{2}+bx+c$
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Dans quel cas un polynôme du second degré admet-il une unique racine ?
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Quelles formules donnent les solutions de l’équation $ax^{2}+bx+c=0$ lorsque le discriminant est strictement positif ?
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Quel est le signe de $P\left(x\right)$ si $P$ est un polynôme du second degré dont le discriminant est strictement négatif ?
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Quelle est la forme canonique de $P\left(x\right)=ax^{2}+bx+c$ ?
Corrigé
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Une racine d’un polynôme $P$ est une solution de l’équation $P\left(x\right)=0$
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Le discriminant du polynôme $P\left(x\right)=ax^{2}+bx+c$ est $\Delta =b^{2} – 4ac$
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Un polynôme du second degré admet une unique racine si et seulement si son discriminant est nul.
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Les solutions de l’équation $ax^{2}+bx+c=0$ lorsque le discriminant est strictement positif sont :
$x_{1}=\dfrac{ – b+\sqrt{\Delta }}{2a}$ et $x_{2}=\dfrac{ – b – \sqrt{\Delta }}{2a}$
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Un polynôme du second degré $P\left(x\right)=ax^{2}+bx+c$ dont le discriminant est strictement négatif est toujours du signe de $a$ (coefficient de $x^{2}$)
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La forme canonique est :
$P\left(x\right)=a\left(x – \alpha \right)^{2}+ \beta$ avec $\alpha = – \dfrac{b}{2a}$ et $\beta =P\left(\alpha \right)$