$\mathscr C$ est un cercle de centre $O$ et de rayon $r$ et $\left[AB\right]$ est un diamètre de ce cercle.
$M$ est un point situé à l’extérieur du cercle. On admettra que, dans ce cas, l’angle $\widehat{AMB}$ est aigu.
Les droites $\left(AM\right)$ et $\left(BM\right)$ coupent $\mathscr C$ respectivement en $I$ et $J$.
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Montrer que $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=MI\times MA$.
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En déduire que $MI\times MA=OM^{2} – r^{2}$
Corrigé
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$I$ étant situé sur le cercle de diamètre $\left[AB\right]$, le triangle $ABI$ est rectangle en $I$
$I$ est donc le projeté orthogonal de $B$ sur $\left(AM\right)$.
Comme l’angle $\widehat{AMB}$ est aigu, en utilisant la formule du produit scalaire à l’aide d’une projection orthogonale :
$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=MA\times MI$
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Par ailleurs, en utilisant la relation de Chasles :
$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right).\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)=\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right).\left(\overrightarrow{MO} – \overrightarrow{OA}\right)$
$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MO}^{2} – \overrightarrow{OA}^{2}=OM^{2} – r^{2}$
Par conséquent : $MI\times MA=OM^{2} – r^{2}$
Remarque: Le résultat $MI\times MA=OM^{2} – r^{2}$ montre que le produit $MI\times MA$ ne dépend pas de la position du point $A$ sur le cercle mais dépend uniquement du rayon du cercle et de la distance $OM$. Ce nombre s’appelle la puissance du point $M$ par rapport au cercle $\mathscr C$.