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edit_note Exercices 100 min
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Puissances d’une matrice

Dans cet exercice on note $ I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $ la matrice unité.

Soient les matrices $ A=\begin{pmatrix} 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 1 \end{pmatrix} $ et $ B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} $

    1. Exprimer $ B^2 $ et $ B^3 $ en fonction de $ B $.
    2. Conjecturer l'expression de $ B^n $ en fonction de $ n $ et de $ B $.
    3. Démontrer la conjecture précédente par récurrence.
    1. Exprimer $ A $ en fonction de $ B $ et de $ I $.
    2. En déduire l'expression de $ A^2 $ puis $ A^3 $ en fonction de $ B $ et de $ I $.
    3. Donner l'écriture matricielle de $ A^3 $.

    1. Montrer que pour tout entier naturel $ n $ strictement positif, il existe un entier $ a_n $ tel que :

      $ A^n=2^nI+a_nB $.

    2. Déterminer la valeur de $ a_1 $ et une expression de $ a_{n+1} $ en fonction de $ a_n $.
    3. En déduire la valeur de $ a_n $ en fonction de $ n $.
    4. Donner l'écriture matricielle de la matrice $ A^n $ en fonction de $ n $.

Corrigé

    1. On calcule $ B^2 $ :

      $ B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix} = 3B $

      On calcule $ B^3 $ :

      $ B^3 = B \times B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 9 & 9 \\ 9 & 9 & 9 \\ 9 & 9 & 9 \end{pmatrix} = 9B $
    2. On conjecture que $ B^n = 3^{n-1}B $.

    3. La proposition $ B^n = 3^{n-1}B $ est vraie pour $ n = 1 $, $ n = 2 $ et $ n = 3 $.

      Si elle est vraie pour un certain entier $ n $, alors on peut écrire :

      $ B^{n+1} = B^n \times B = 3^{n-1}B \times B = 3^{n-1}B^2 = 3^{n-1} \times 3B = 3^nB $

      montrant ainsi que la proposition est vraie pour $ n + 1 $, et, par récurrence, pour tout $ n \in \mathbb{N}^* $.

    1. On constate que :

      $ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = 2I - B $

    2. Alors :

      $ A^2 = (2I - B)(2I - B) = 4I^2 - 4IB + B^2 = 4I - 4B + 3B = 4I - B $

      et

      $ A^3 = (4I - B)(2I - B) = 8I - 4IB - 2IB + B^2 = 8I - 6B + 3B = 8I - 3B $

    3. On calcule l'écriture matricielle de $ A^3 $ :

      $ A^3 = 8 \times \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - 3 \times \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -3 & -3 \\ -3 & 5 & -3 \\ -3 & -3 & 5 \end{pmatrix} $
    1. La proposition $ A^n = 2^nI + a_nB $ avec $ n \in \mathbb{N}^* $ et $ a_n \in \mathbb{Z} $ est vraie pour :
    2. $ A^1 = 2^1I + (-1)B $ avec $ a_1 = -1 $
    3. $ A^2 = 2^2I + (-1)B $ avec $ a_2 = -1 $

    4. $ A^3 = 2^3I + (-3)B $ avec $ a_3 = -3 $

      Si la proposition est vraie pour un certain entier naturel $ n $, on peut écrire :

      $ A^{n+1} = A^n \times A = (2^nI + a_nB)(2I - B) = 2^{n+1}I - 2^nIB + 2a_nIB - a_nB^2 $

      En remarquant que $ IB = B $ et $ B^2 = 3B $, on obtient :

      $ A^{n+1} = 2^{n+1}I + (-2^n - a_n)B $

      Comme $ (-2^n - a_n) \in \mathbb{Z} $, on pose $ a_{n+1} = -2^n - a_n $, et on obtient $ A^{n+1} = 2^{n+1}I + a_{n+1}B $, démontrant que la proposition est vraie pour $ n+1 $ et, par récurrence, pour tout $ n \in \mathbb{N}^* $.

    5. La valeur de $ a_1 $ est $-1$. L'expression de $ a_{n+1} $ en fonction de $ a_n $ est $ a_{n+1} = -2^n - a_n $.

    6. D'après ce qui précède : $ a_n = -2^{n-1} - a_{n-1} $.

      En substituant successivement $ a_{n-1}, a_{n-2}, \dots, a_1 $, on obtient :

      $ a_n = -2^{n-1} + 2^{n-2} - 2^{n-3} + \dots \pm (2-1) = 2^n \sum_{i=1}^n \left( - \dfrac{1}{2} \right)^i $

      La somme $\sum$ est celle des $ n $ termes d'une progression géométrique de raison $ - \dfrac{1}{2} $ et de premier terme $ - \dfrac{1}{2} $, d'où :

      $ a_n = 2^n \times \left( - \dfrac{1}{2} \right) \times \dfrac{1 - \left( - \dfrac{1}{2} \right)^n}{1 - \left( - \dfrac{1}{2} \right)} = - \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{2}{3} \right) \left[ 2^n - (-1)^n \right] = \dfrac{-2^n + (-1)^n}{3} $

    7. Donner l'écriture matricielle de la matrice $ A^n $ :

      $ A^n = 2^nI + a_nB = 2^n \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \dfrac{-2^n + (-1)^n}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} $
      $ A^n = \begin{pmatrix} \dfrac{2^{n+1} + (-1)^n}{3} & \dfrac{-2^n + (-1)^n}{3} & \dfrac{-2^n + (-1)^n}{3} \\ \dfrac{-2^n + (-1)^n}{3} & \dfrac{2^{n+1} + (-1)^n}{3} & \dfrac{-2^n + (-1)^n}{3} \\ \dfrac{-2^n + (-1)^n}{3} & \dfrac{-2^n + (-1)^n}{3} & \dfrac{2^{n+1} + (-1)^n}{3} \end{pmatrix} $

(Solution rédigée par Paki)