$ABC$ est un triangle rectangle en $A$ et $H$ désigne le pied de la hauteur issue de $A$.
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Calculer $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$ en fonction de $AB$.
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Calculer $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$ en fonction de $BH$ et $BC$.
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En déduire que $BH=\dfrac{AB^{2}}{BC}$
Corrigé
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Le point $C$ se projette orthogonalement en $A$ sur la droite $\left(AB\right)$. L’angle $\widehat{ABC}$ est aigu (car c’est un angle non droit d’un triangle rectangle).
Par conséquent, en utilisant la formule du produit scalaire à l’aide d’une projection orthogonale :
$\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=AB\times AB=AB^{2}$
Remarque : On peut aussi démontrer le résutat en utilisant la relation de Chasles :
$\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}.\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)=\overrightarrow{BA}^{2}+\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AC}=AB^{2}$
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Le point $A$ se projette orthogonalement en $H$ sur la droite $\left(BC\right)$.
Par conséquent :
$\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=BH\times BC$
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On déduit des questions 1. et 2. que :
$AB^{2}=BH\times BC$ donc :
$BH=\dfrac{AB^{2}}{BC}$