Produit scalaire - Calcul de longueurs

$ ABC $ est un triangle rectangle en $ A $ et $ H $ désigne le pied de la hauteur issue de $ A $.

Calculer $ \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} $ en fonction de $ AB $.
Calculer $ \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} $ en fonction de $ BH $ et $ BC $.
En déduire que $ BH=\dfrac{AB^{2}}{BC} $

Corrigé

Le point $ C $ se projette orthogonalement en $ A $ sur la droite $ \left(AB\right) $. L'angle $ \widehat{ABC} $ est aigu (car c'est un angle non droit d'un triangle rectangle).

Par conséquent, en utilisant la formule du produit scalaire à l'aide d'une projection orthogonale :

$ \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=AB\times AB=AB^{2} $

Remarque : On peut aussi démontrer le résutat en utilisant la relation de Chasles :

$ \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}.\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)=\overrightarrow{BA}^{2}+\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AC}=AB^{2} $
Le point $ A $ se projette orthogonalement en $ H $ sur la droite $ \left(BC\right) $.

Par conséquent :

$ \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=BH\times BC $
On déduit des questions 1. et 2. que :

$ AB^{2}=BH\times BC $ donc :

$ BH=\dfrac{AB^{2}}{BC} $