Exercice 2
(5 points) – Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Les parties I et II sont indépendantes.
Partie I (calculs exacts demandés)
Sur une route, deux intersections successives « a » et « b » sont munies de feux tricolores. On suppose que ces feux ne sont pas synchronisés et fonctionnent de manière indépendante. On admet que :
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La probabilité que le feu de « a » soit vert est égale à $\dfrac{3}{4}$,
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La probabilité que le feu de « b » soit vert est égale à $\dfrac{1}{2}$.
On note A l’événement : « le feu de « a » est vert », B l’événement « le feu de « b » est vert ».
Un automobiliste passe successivement aux deux intersections « a » et « b ».
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Calculer la probabilité qu’à son passage, les deux feux soient verts.
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Calculer la probabilité qu’à son passage, il rencontre au moins un feu vert.
Partie II (résultats demandés à $10^{ – 2}$ près)
Pour se rendre à son travail, Mathurin rencontre une succession d’intersections de feux tricolores dont le fonctionnement est décrit si-dessous :
A chaque intersection :
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Si le feu est vert, il le sera à l’intersection suivante avec la probabilité 0,9 ou sera rouge avec la probabilité 0,05.
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Si le feu est orange, il le sera à l’intersection suivante avec la probabilité 0,1 ou sera vert avec la probabilité 0,8.
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Si le feu est rouge, il le sera à l’intersection suivante avec la probabilité 0,5 ou sera orange avec la probabilité 0,05.
$n$ étant un entier naturel non nul, on note :
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$V_{n}$ la probabilité que Mathurin rencontre un feu vert à la n-ième intersection,
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$O_{n}$ la probabilité que Mathurin rencontre un feu orange à la n-ième intersection,
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$R_{n}$ la probabilité que Mathurin rencontre un feu rouge à la n-ième intersection,
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$P_{n}=\left(V_{n} \quad O_{n} \quad R_{n}\right)$ la matrice traduisant l’état probabiliste du n-ième feu tricolore.
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Construire un graphe probabiliste pour décrire cette situation.
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Donner la matrice de transition $M$ complétée de ce graphe :
$$M = \begin{pmatrix} \cdots & 0,05 & 0,05 \\ 0,8 & \cdots & 0,1 \\ 0,45 & \cdots & 0,5 \end{pmatrix}$$
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Si \le premier feu rencontré est vert, donner la matrice $P_{1}$ de l’état \inital puis calculer $P_{2}$.
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On donne $P_{3}=\left(0,87 \quad 0,05 \quad 0,08\right)$. Quelle est la probabilité que \le quatrième feu soit vert ?
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Si \le premier feu rencontré est rouge, donner la matrice $P_{1}$ de l’état \initial puis calculer $P_{2}$.
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On remarque que, quelle que soit la couleur du premier feu rencontré, on obtient à partir d’un certain rang n : $P_{n}=\left(0,85 \quad 0,05 \quad 0,10\right)$.
Donner une interprétation concrète de ce résultat.