Points d'intersection avec une tangente

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f (x) =x^3 – x^2 – x$

On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R} .$
Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbe $\mathscr{C}$ avec l’axe des abscisses.
Donnez l’équation réduite de la tangente $(T_a)$ à la courbe $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $a.$
1. Développer $(x – a) ^2 (x+2a – 1) .$
2. Déterminer, en fonction de $a$, le nombre et les abscisses des points d’intersection de la courbe $\mathscr{C}$ et de la tangente $(T_a).$

Corrigé

La fonction $f$ est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur $\mathbb{R} .$

Sa dérivée est définie par :
$f^{\prime} (x) =3x^2 – 2x – 1$

Étudions le signe de $f^{\prime}$ :
$\Delta = ( – 2) ^2 – 4 \times 3 \times ( – 1) = 16 > 0$

$f^{\prime}$ admet donc 2 racines :
$x_1= \dfrac{ 2 – \sqrt { 16 }}{ 2 \times 3 } = – \dfrac{ 2 }{ 6 } = – \dfrac{ 1 }{ 3 }$
$x_2= \dfrac{ 2 +\sqrt { 16 }}{ 2 \times 3 } = \dfrac{ 6 }{ 6 } = 1$

Le coefficient de $x^2 ~ (a=3)$, est strictement positif. On en déduit le tableau de signes de $f^{\prime}$ et le tableau de variations de $f$ , compte tenu du fait que :

$f \left( – \dfrac{ 1 }{ 3 } \right) = – \dfrac{ 1 }{ 27 } – \dfrac{ 1 }{ 9 } + \dfrac{ 1 }{ 3 } = \dfrac{ 5 }{ 27 }$
$f (1) =1 – 1 – 1= – 1$

$tableau de variations de la fonction$
Les abscisses des points d’intersection de la courbe $\mathscr{C}$ avec l’axe des abscisses sont les solutions de l’équation :
$x^{ 3 } – x^2 – x=0$

Cette équation équivaut à :
$x \left( x^2 – x – 1 \right) =0$

soit $x=0$ ou $x^2 – x – 1=0$

Le discriminant de $x^2 – x – 1$ est :
$\Delta = ( – 1) ^2 – 4 \times 1 \times ( – 1) =5 >0$

L’équation $x^2 – x – 1$ admet donc 2 solutions :
$x= \dfrac{ 1+ \sqrt { 5 } }{ 2 }$ ou $x= \dfrac{ 1 – \sqrt { 5 } }{ 2 } .$

En conclusion, la courbe $\mathscr{C}$ coupe l’axe des abscisses en trois points de coordonnées respectives :
$\left( 0 ; 0 \right) , \left( \dfrac{ 1 – \sqrt { 5 } }{ 2 } ; 0 \right) , \left( \dfrac{ 1 + \sqrt { 5 } }{ 2 } ; 0 \right)$.
L’équation de la tangente $\left( T_{ a } \right)$ au point d’abscisse $a$ est donnée par la formule :

$y=f^{\prime} (a) (x – a) +f (a)$

Ici, on obtient :
$y= (3a^2 – 2a – 1) (x – a) +a^{ 3 } – a^2 – a$
$y= (3a^2 – 2a – 1) x – 3a^{ 3} +2a^2 +a+a^{ 3 } – a^2 – a$
$y = (3a^2 – 2a – 1) x – 2a^{ 3 } +a^2$
1. $(x – a) ^2 (x+2a – 1) = (x^2 – 2ax+a^2 ) (x+2a – 1)$
  $\phantom{ (x – a) ^2 (x+2a – 1) } = x^{ 3} +2ax^2 – x^2$$- 2ax^2 – 4a^2 x+2ax$$+a^2 x+2a^{ 3 } – a^2$
  $\phantom{ (x – a) ^2 (x+2a – 1) } = x^{ 3} – x^2 – 3a^2 x+2ax+2a^{ 3 } – a^2 .$
2. Pour déterminer les abscisses des points d’intersection de $\mathscr{C}$ et de $\left( T_{ a } \right)$, on résout l’équation :
  
  $x^{ 3} – x^2 – x= (3a^2 – 2a – 1) x – 2a^{ 3 } +a^2$
  $x^{ 3} – x^2 – x – (3a^2 – 2a – 1) x+ 2a^{ 3 } – a^2=0$
  $x^{ 3} – x^2 – 3a^2 x+2ax+2a^{ 3 } – a^2=0$
  
  d’après la question précédente, cette équation équivaut à :
  $(x – a) ^2 (x+2a – 1) =0$
  
  par conséquent :
  $(x – a) ^2 =0$ ou $x+2a – 1=0$
  $x=a$ ou $x= – 2a+1$
  
  On a donc, en général, deux points d’intersection d’abscisses respectives $a$ et $- 2a+1.$
  
  Toutefois, ces points peuvent être confondus si $a= – 2a+1$ c’est-à-dire si $3a=1$ soit $a= \dfrac{ 1 }{ 3 }$ ; on a alors un seul point d’intersection qui est le point d’abscisse $\dfrac{ 1 }{ 3 } .$

Points d’intersection avec une tangente

Corrigé