Points d’intersection avec une tangente
Soit la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par :
On note $ \mathscr{C} $ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
- Étudier les variations de la fonction $ f $ sur $ \mathbb{R} . $
- Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $ \mathscr{C} $ avec l'axe des abscisses.
- Donnez l'équation réduite de la tangente $ (T_a) $ à la courbe $ \mathscr{C} $ au point d'abscisse $ a. $
- Développer $ (x - a) ^2 (x+2a - 1) . $
- Déterminer, en fonction de $ a $, le nombre et les abscisses des points d'intersection de la courbe $ \mathscr{C} $ et de la tangente $ (T_a). $
Corrigé
La fonction $ f $ est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur $ \mathbb{R} . $
Sa dérivée est définie par :
$ f^{\prime} (x) =3x^2 - 2x - 1 $Étudions le signe de $ f^{\prime} $ :
$ \Delta = ( - 2) ^2 - 4 \times 3 \times ( - 1) = 16 > 0 $$ f^{\prime} $ admet donc 2 racines :
$ x_1= \dfrac{ 2 - \sqrt { 16 }}{ 2 \times 3 } = - \dfrac{ 2 }{ 6 } = - \dfrac{ 1 }{ 3 } $
$ x_2= \dfrac{ 2 +\sqrt { 16 }}{ 2 \times 3 } = \dfrac{ 6 }{ 6 } = 1 $Le coefficient de $ x^2 ~ (a=3) $, est strictement positif. On en déduit le tableau de signes de $ f^{\prime} $ et le tableau de variations de $ f $ , compte tenu du fait que :
$ f \left( - \dfrac{ 1 }{ 3 } \right) = - \dfrac{ 1 }{ 27 } - \dfrac{ 1 }{ 9 } + \dfrac{ 1 }{ 3 } = \dfrac{ 5 }{ 27 } $
$ f (1) =1 - 1 - 1= - 1 $
- Les abscisses des points d'intersection de la courbe $ \mathscr{C} $ avec l'axe des abscisses sont les solutions de l'équation :
$ x^{ 3 } - x^2 - x=0 $
Cette équation équivaut à :
$ x \left( x^2 - x - 1 \right) =0 $
soit $ x=0 $ ou $ x^2 - x - 1=0 $
Le discriminant de $ x^2 - x - 1 $ est :
$ \Delta = ( - 1) ^2 - 4 \times 1 \times ( - 1) =5 >0 $
L'équation $ x^2 - x - 1 $ admet donc 2 solutions :
$ x= \dfrac{ 1+ \sqrt { 5 } }{ 2 } $ ou $ x= \dfrac{ 1 - \sqrt { 5 } }{ 2 } . $
En conclusion, la courbe $ \mathscr{C} $ coupe l'axe des abscisses en trois points de coordonnées respectives :
$ \left( 0 ; 0 \right) , \left( \dfrac{ 1 - \sqrt { 5 } }{ 2 } ; 0 \right) , \left( \dfrac{ 1 + \sqrt { 5 } }{ 2 } ; 0 \right) $. L'équation de la tangente $ \left( T_{ a } \right) $ au point d'abscisse $ a $ est donnée par la formule :
$ y=f^{\prime} (a) (x - a) +f (a) $Ici, on obtient :
$ y= (3a^2 - 2a - 1) (x - a) +a^{ 3 } - a^2 - a $
$ y= (3a^2 - 2a - 1) x - 3a^{ 3} +2a^2 +a+a^{ 3 } - a^2 - a $
$ y = (3a^2 - 2a - 1) x - 2a^{ 3 } +a^2 $- $ (x - a) ^2 (x+2a - 1) = (x^2 - 2ax+a^2 ) (x+2a - 1) $
$ \phantom{ (x - a) ^2 (x+2a - 1) } = x^{ 3} +2ax^2 - x^2 - 2ax^2 - 4a^2 x+2ax +a^2 x+2a^{ 3 } - a^2 $
$ \phantom{ (x - a) ^2 (x+2a - 1) } = x^{ 3} - x^2 - 3a^2 x+2ax+2a^{ 3 } - a^2 . $ - Pour déterminer les abscisses des points d'intersection de $ \mathscr{C} $ et de $ \left( T_{ a } \right) $, on résout l'équation :
$ x^{ 3} - x^2 - x= (3a^2 - 2a - 1) x - 2a^{ 3 } +a^2 $
$ x^{ 3} - x^2 - x - (3a^2 - 2a - 1) x+ 2a^{ 3 } - a^2=0 $
$ x^{ 3} - x^2 - 3a^2 x+2ax+2a^{ 3 } - a^2=0 $
d'après la question précédente, cette équation équivaut à :
$ (x - a) ^2 (x+2a - 1) =0 $
par conséquent :
$ (x - a) ^2 =0 $ ou $ x+2a - 1=0 $
$ x=a $ ou $ x= - 2a+1 $
On a donc, en général, deux points d'intersection d'abscisses respectives $ a $ et $ - 2a+1. $
Toutefois, ces points peuvent être confondus si $ a= - 2a+1 $ c'est-à-dire si $ 3a=1 $ soit $ a= \dfrac{ 1 }{ 3 } $ ; on a alors un seul point d'intersection qui est le point d'abscisse $ \dfrac{ 1 }{ 3 } . $
- $ (x - a) ^2 (x+2a - 1) = (x^2 - 2ax+a^2 ) (x+2a - 1) $