Nombres complexes et probabilités

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé $(O ; \vec{u} , \vec{v} )$.

Une urne contient trois boules indiscernables au toucher marquées $1, 2, 3$. Une épreuve consiste à prélever une première boule de l’urne dont le numéro sera noté $a$ puis, sans la remettre dans l’urne, une seconde boule dont le numéro sera noté $b$.
Au résultat$(a ; b)$ du tirage, on associe l’application du plan complexe dans lui-même qui à tout point $M$ d’affixe $z$ fait correspondre le point $M^\prime$ d’affixe $z^\prime$ tel que $z^\prime= \alpha z$ avec $ \alpha = \dfrac{a}{2} e^{ib \dfrac{ \pi }{3} }$.

1. Quels sont les résultats $(a ; b)$ possibles ? Quelles sont les valeurs de$ \alpha $ correspondantes ?
2. Soit $A$ le point d’affixe $z_0= \sqrt{3} + i$ et $A^\prime$ le point d’affixe $z_0^\prime = \alpha z_0$image de $A$ par l’application associée au résultat d’une épreuve. Calculer le module et l’ argument de $z_0$ et ceux de $z^\prime_0$ suivant les valeurs de $(a ; b)$.
3. Calculer la probabilité de l’événement $E_1$ : $O, A$ et $A^\prime$ sont alignés puis celle de l’événement $E_2$ :$z^\prime_0$ est un imaginaire pur.
4. Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque épreuve, associe le module de $z^\prime_0$. Donner la loi de probabilité de $X$ et calculer son espérance mathématique.