Nombres complexes – Lieux géométriques – 2

Dans le plan complexe, déterminer l'ensemble $ \left(E\right) $ des points $ M $ d'affixe $ z $ tels que $ \dfrac{ z+1 - i }{ z - i } $ soit un nombre imaginaire pur.

theoreme

Indications

L'idée est d'appliquer la formule sur les angles et arguments $ \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)= \text{arg}\left(\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}\right) $ mais il faut aussi bien traiter les cas «limites» qui pour lesquels le numérateur ou le dénominateur s'annule.

[Tout title="d'abord, notons que le rapport $ \dfrac{ z+1 - i }{ z - i } $ n'est pas défini pour $ z=i $ donc le point $ A $ d'affixe $ i $ n'appartient pas à l'ensemble $ \left(E\right) $."]

Ensuite pour $ z= - 1+i $, $ \dfrac{ z+1 - i }{ z - i }=0 $ qui est bien un imaginaire pur ($ 0=0i $) donc le point $ B $ d'affixe $ - 1+i $ appartient à l'ensemble $ \left(E\right) $.

Enfin, si $ z\neq i $ et $ z\neq - 1+i $, le rapport $ \dfrac{ z+1 - i }{ z - i } $ peut s'écrire $ \dfrac{z - z_{B}}{z - z_{A}} $ où $ A $ et $ B $ sont les points d'affixes respectives $ i $ et $ - 1+i $.

Le nombre non nul $ \dfrac{ z+1 - i }{ z - i } $ est un imaginaire pur si et seulement si son argument vaut $ \dfrac{\pi }{2} $ ou $ - \dfrac{\pi }{2} $ (modulo $ 2\pi $).

Or d'après le cours $ \text{arg}\left(\dfrac{z - z_{B}}{z - z_{A}}\right)=\left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BM}\right) $

[/Tout] propriete

Remarque

Cette propriété ne s'applique que si $ A\neq M $ et $ B\neq M $) (sinon l'angle $ \left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BM}\right) $ n'existe pas!).

C'est pourquoi on a traité les cas "limites" $ z=i $ et $ z= - 1+i $ séparément.

[Le title="nombre $ \dfrac{ z+1 - i }{ z - i } $ est donc un imaginaire pur si et seulement si l'angle $ \widehat{AMB} $ est un angle droit."]

Or on sait que l'angle $ \widehat{AMB} $ est un angle droit si et seulement si $ M $ appartient au cercle de diamètre $ \left[AB\right] $.

L'ensemble $ \left(E\right) $ est donc le cercle de diamètre $ \left[AB\right] $ privé du point $ A $ (mais on conserve le point $ B $).

[/Le]