Dans le plan complexe, déterminer l’ensemble $\left(E\right)$ des points $M$ d’affixe $z$ tels que $\dfrac{ z+1 – i }{ z – i }$ soit un nombre imaginaire pur.
Corrigé
Indications
L’idée est d’appliquer la formule sur les angles et arguments $\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)= \arg\left(\dfrac{z_{C} – z_{A}}{z_{B} – z_{A}}\right)$ mais il faut aussi bien traiter les cas «limites» qui pour lesquels le numérateur ou le dénominateur s’annule.
Tout d’abord, notons que le rapport $\dfrac{ z+1 – i }{ z – i }$ n’est pas défini pour $z=i$ donc le point $A$ d’affixe $i$ n’appartient pas à l’ensemble $\left(E\right)$.
Ensuite pour $z= – 1+i$, $\dfrac{ z+1 – i }{ z – i }=0$ qui est bien un imaginaire pur ($0=0i$) donc le point $B$ d’affixe $- 1+i$ appartient à l’ensemble $\left(E\right)$.
Enfin, si $z \neq i$ et $z \neq – 1+i$, le rapport $\dfrac{ z+1 – i }{ z – i }$ peut s’écrire $\dfrac{z – z_{B}}{z – z_{A}}$ où $A$ et $B$ sont les points d’affixes respectives $i$ et $- 1+i$.
Le nombre non nul $\dfrac{ z+1 – i }{ z – i }$ est un imaginaire pur si et seulement si son argument vaut $\dfrac{\pi }{2}$ ou $- \dfrac{\pi }{2}$ (modulo $2\pi$).
Or d’après le cours $\arg\left(\dfrac{z – z_{B}}{z – z_{A}}\right)=\left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BM}\right)$
Remarque
Cette propriété ne s’applique que si $A \neq M$ et $B \neq M$) (sinon l’angle $\left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BM}\right)$ n’existe pas!).
C’est pourquoi on a traité les cas « limites » $z=i$ et $z= – 1+i$ séparément.
Le nombre $\dfrac{ z+1 – i }{ z – i }$ est donc un imaginaire pur si et seulement si l’angle $\widehat{AMB}$ est un angle droit.
Or on sait que l’angle $\widehat{AMB}$ est un angle droit si et seulement si $M$ appartient au cercle de diamètre $\left[AB\right]$.
L’ensemble $\left(E\right)$ est donc le cercle de diamètre $\left[AB\right]$ privé du point $A$ (mais on conserve le point $B$).
