Nombres complexes – Lieux géométriques – 1
Dans le plan complexe, déterminer l'ensemble $ \left(E\right) $ des points $ M $ d'affixe $ z $ tels que :
$ | z+1 |=| z - i | $
Corrigé
1 - Méthode algébrique
On pose $ z=x+iy $.
Alors :
$ z+1=x+1+iy $
$ | z+1 |= \sqrt{\left(x+1\right)^{2}+y^{2}}=\sqrt{x^{2}+2x+1+y^{2}} $
$ z - i=x+i\left(y - 1\right) $
$ | z - i |=\sqrt{x^{2}+\left(y - 1\right)^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2} - 2y+1} $
L'égalité $ | z+1 |=| z - i | $ est donc équivalente à :
$ \sqrt{x^{2}+2x+1+y^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2} - 2y+1} $
$ x^{2}+2x+1+y^{2}=x^{2}+y^{2} - 2y+1 $
$ x^{2}+2x+1+y^{2} - x^{2} - y^{2}+2y - 1=0 $
$ x+y=0 $
L'ensemble $ \left(E\right) $ est la droite d'équation $ x+y=0 $
2 - Méthode géométrique
$ | z+1 |=| z - \left( - 1\right)| $ est de la forme $ | z - a | $. Cela peut donc s'interpréter comme la distance entre les points $ M $ d'affixe $ z $ et $ A $ d'affixe $ - 1 $.
De même $ | z - i | $ représente la distance entre les points $ M $ d'affixe $ z $ et $ B $ d'affixe $ i $.
L'égalité $ | z+1 |=| z - i | $ signifie donc que $ M\left(z\right) $ est équidistant de $ A\left( - 1\right) $ et de $ B\left(i\right) $.
L'ensemble $ \left(E\right) $ est donc la médiatrice de $ \left[AB\right] $
