Dans le plan complexe, déterminer l’ensemble $\left(E\right)$ des points $M$ d’affixe $z$ tels que :
$| z+1 |=| z – i |$
Corrigé
1 – Méthode algébrique
On pose $z=x+iy$.
Alors :
$z+1=x+1+iy$
$| z+1 |= \sqrt{\left(x+1\right)^{2}+y^{2}}=\sqrt{x^{2}+2x+1+y^{2}}$
$z – i=x+i\left(y – 1\right)$
$| z – i |=\sqrt{x^{2}+\left(y – 1\right)^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2} – 2y+1}$
L’égalité $| z+1 |=| z – i |$ est donc équivalente à :
$\sqrt{x^{2}+2x+1+y^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2} – 2y+1}$
$x^{2}+2x+1+y^{2}=x^{2}+y^{2} – 2y+1$
A noter
Pour des nombres $a$ et $b$ positifs : $a=b \color{red}{\Leftrightarrow } a^{2}=b^{2}$
Ce n’est plus vrai pour des nombres de signes quelconques où l’on a seulement : $a=b \color{red}{\Rightarrow } a^{2}=b^{2}$
$x^{2}+2x+1+y^{2} – x^{2} – y^{2}+2y – 1=0$
$x+y=0$
L’ensemble $\left(E\right)$ est la droite d’équation $x+y=0$
2 – Méthode géométrique
$| z+1 |=| z – \left( – 1\right)|$ est de la forme $| z – a |$. Cela peut donc s’interpréter comme la distance entre les points $M$ d’affixe $z$ et $A$ d’affixe $- 1$.
De même $| z – i |$ représente la distance entre les points $M$ d’affixe $z$ et $B$ d’affixe $i$.
L’égalité $| z+1 |=| z – i |$ signifie donc que $M\left(z\right)$ est équidistant de $A\left( – 1\right)$ et de $B\left(i\right)$.
Rappel
L’ensemble des points équidistants de $A$ et de $B$ est la médiatrice de $\left[AB\right]$
L’ensemble $\left(E\right)$ est donc la médiatrice de $\left[AB\right]$
