Nombres complexes – Bac S Pondichéry 2018
Exercice 2 (4 points)
Commun à tous les candidats
Le plan est muni d'un repère orthonormé $ (O~;~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}) $.
Les points A, B et C ont pour affixes respectives $ a = - 4,\: b = 2 $ et $ c = 4 $.
On considère les trois points A$ ^{\prime} $, B$ ^{\prime} $ et C$ ^{\prime} $ d'affixes respectives $ a^{\prime}= ja $, $ b^{\prime}= jb $ et $ c^{\prime}= jc $ où $ j $ est le nombre complexe $ - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} $.
Donner la forme trigonométrique et la forme exponentielle de $ j $.
En déduire les formes algébriques et exponentielles de $ a^{\prime} $, $ b^{\prime} $ et $ c^{\prime} $.
Les points A, B et C ainsi que les cercles de centre O et de rayon 2, 3 et 4 sont représentés sur le graphique fourni en Annexe.
Placer les points A$ ^{\prime} $, B$ ^{\prime} $ et C$ ^{\prime} $ sur ce graphique.
- Montrer que les points A$ ^{\prime} $, B$ ^{\prime} $ et C$ ^{\prime} $ sont alignés.
On note M le milieu du segment [A$ ^{\prime} $C], N le milieu du segment [C$ ^{\prime} $C] et P le milieu du segment $ [\text{C}^{\prime}\text{A}] $.
Démontrer que le triangle MNP est isocèle.
ANNEXE
À compléter et à remettre avec la copie
Corrigé
$ j= - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} $
$ \left| j \right| = \sqrt{\left( - \dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}}=1 $
$ \theta $ est un argument de $ j $ si et seulement si $ \cos \theta = - \dfrac{1}{2} $ et $ \sin \theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $. Donc $ \dfrac{2\pi}{3} $ est un argument de $ j $.La forme trigonométrique de $ j $ est :
$ j=\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) + \text{i}\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) $
et sa forme exponentielle :
$ j= \text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}} $.
La forme algébrique de $ a^{\prime} $ est :
$ a^{\prime}=aj= - 4j=2 - 2\text{i}\sqrt{3} $.
Par ailleurs :
$ a^{\prime}= - 4j= - 4\text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}} $
Toutefois $ - 4 $ étant négatif, l'écriture ci-dessus n'est pas la forme exponentielle de $ a^{\prime} $.
Pour obtenir la forme exponentielle de $ a^{\prime} $ on utilise le fait que $ - 1=\text{e}^{\text{i}\pi} $ ; par conséquent :
$ a^{\prime}= - 4\left( \text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}\right) $
$ \phantom{a^{\prime}}=4 \text{e}^{\text{i}\pi}\text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}} $
$ \phantom{a^{\prime}}=4\text{e}^{\text{i}\left( \pi+\frac{2\pi}{3}\right) } $.La forme exponentielle de $ a^{\prime} $ est donc :
$ a^{\prime}=4\text{e}^{\frac{5\text{i}\pi}{3}} $.
La forme algébrique de $ b^{\prime} $ est :
$ b^{\prime}= bj=2j= - 1+\text{i}\sqrt{3} $
et sa forme exponentielle :
$ b^{\prime}=2j=2\text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}} $.
Enfin, la forme algébrique de $ c^{\prime} $ est :
$ c^{\prime}= cj=4j= - 2+2\text{i}\sqrt{3} $
et sa forme exponentielle :
$ c^{\prime}=4j=4\text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}} $.
- Voir figure ci-après.
L'affixe du vecteur $ \overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}} $ est :
$ b^{\prime} - a^{\prime}=2j - ( - 4j)=6j $.
L'affixe du vecteur $ \overrightarrow{B^{\prime}C^{\prime}} $ est :
$ c^{\prime} - b^{\prime}=4j - 2j=2j $.
Par conséquent $ \overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}} $ =3$ \overrightarrow{B^{\prime}C^{\prime}} $.
Les vecteurs $ \overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}} $ et $ \overrightarrow{B^{\prime}C^{\prime}} $ sont colinéaires donc les points $ A^{\prime} $, $ B^{\prime} $ et $ C^{\prime} $ sont alignés.
-
L'affixe de M est :
$ m=\dfrac{a^{\prime}+c}{2}=3 - \text{i}\sqrt{3} $
L'affixe de N est :
$ n=\dfrac{c^{\prime}+c}{2}=1+\text{i}\sqrt{3} $
L'affixe de P est :
$ p=\dfrac{c^{\prime}+a}{2}= - 3+\text{i}\sqrt{3} $
Montrons que $ MN=PN $
$ MN=\left|m - n \right| = \left|2 - 2\text{i}\sqrt{3} \right| $
$ \phantom{MN}=\sqrt{2^2+\left(2 \sqrt{3}\right)^2}=\sqrt{4+12}=4 $
$ PN=\left|n - p \right| =\left|4 \right| = 4 $Le triangle $ MNP $ est donc isocèle en $ N $.