Exercice 2 (4 points)
Commun à tous les candidats
Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O~;~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v})$.
Les points A, B et C ont pour affixes respectives $a = – 4,\: b = 2$ et $c = 4$.
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On considère les trois points A$^{\prime}$, B$^{\prime}$ et C$^{\prime}$ d’affixes respectives $a^{\prime}= ja$, $b^{\prime}= jb$ et $c^{\prime}= jc$ où $j$ est le nombre complexe $- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
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Donner la forme trigonométrique et la forme exponentielle de $j$.
En déduire les formes algébriques et exponentielles de $a^{\prime}$, $b^{\prime}$ et $c^{\prime}$.
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Les points A, B et C ainsi que les cercles de centre O et de rayon 2, 3 et 4 sont
représentés sur le graphique fourni en Annexe.Placer les points A$^{\prime}$, B$^{\prime}$ et C$^{\prime}$ sur ce graphique.
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Montrer que les points A$^{\prime}$, B$^{\prime}$ et C$^{\prime}$ sont alignés.
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On note M le milieu du segment [A$^{\prime}$C], N le milieu du segment [C$^{\prime}$C] et P le milieu du
segment $[\text{C}^{\prime}\text{A}]$.Démontrer que le triangle MNP est isocèle.
ANNEXE
À compléter et à remettre avec la copie
Corrigé
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$j= – \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\left| j \right| = \sqrt{\left( – \dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}}=1$
$\theta$ est un argument de $j$ si et seulement si $\cos \theta = – \dfrac{1}{2}$ et $\sin \theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Donc $\dfrac{2\pi}{3}$ est un argument de $j$.La forme trigonométrique de $j$ est :
$j=\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) + \text{i}\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$
et sa forme exponentielle :
$j= \text{e}^{\dfrac{2\text{i}\pi}{3}}$.
La forme algébrique de $a^{\prime}$ est :
$a^{\prime}=aj= – 4j=2 – 2\text{i}\sqrt{3}$.
Par ailleurs :
$a^{\prime}= – 4j= – 4\text{e}^{\dfrac{2\text{i}\pi}{3}}$
Toutefois $- 4$ étant négatif, l’écriture ci-dessus n’est pas la forme exponentielle de $a^{\prime}$.
Pour obtenir la forme exponentielle de $a^{\prime}$ on utilise le fait que $- 1=\text{e}^{\text{i}\pi}$ ; par conséquent :
$a^{\prime}= – 4\left( \text{e}^{\dfrac{2\text{i}\pi}{3}}\right)$
$\phantom{a^{\prime}}=4 \text{e}^{\text{i}\pi}\text{e}^{\dfrac{2\text{i}\pi}{3}}$
$\phantom{a^{\prime}}=4\text{e}^{\text{i}\left( \pi+\dfrac{2\pi}{3}\right) }$.La forme exponentielle de $a^{\prime}$ est donc :
$a^{\prime}=4\text{e}^{\dfrac{5\text{i}\pi}{3}}$.
La forme algébrique de $b^{\prime}$ est :
$b^{\prime}= bj=2j= – 1+\text{i}\sqrt{3}$
et sa forme exponentielle :
$b^{\prime}=2j=2\text{e}^{\dfrac{2\text{i}\pi}{3}}$.
Enfin, la forme algébrique de $c^{\prime}$ est :
$c^{\prime}= cj=4j= – 2+2\text{i}\sqrt{3}$
et sa forme exponentielle :
$c^{\prime}=4j=4\text{e}^{\dfrac{2\text{i}\pi}{3}}$.
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Voir figure ci-après.
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L’affixe du vecteur $\overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}$ est :
$b^{\prime} – a^{\prime}=2j – ( – 4j)=6j$.
L’affixe du vecteur $\overrightarrow{B^{\prime}C^{\prime}}$ est :
$c^{\prime} – b^{\prime}=4j – 2j=2j$.
Par conséquent $\overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}$ =3$\overrightarrow{B^{\prime}C^{\prime}}$.
Les vecteurs $\overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}$ et $\overrightarrow{B^{\prime}C^{\prime}}$ sont colinéaires donc les points $A^{\prime}$, $B^{\prime}$ et $C^{\prime}$ sont alignés.
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L’affixe de M est :
$m=\dfrac{a^{\prime}+c}{2}=3 – \text{i}\sqrt{3}$
L’affixe de N est :
$n=\dfrac{c^{\prime}+c}{2}=1+\text{i}\sqrt{3}$
L’affixe de P est :
$p=\dfrac{c^{\prime}+a}{2}= – 3+\text{i}\sqrt{3}$
Montrons que $MN=PN$
$MN=\left|m – n \right| = \left|2 – 2\text{i}\sqrt{3} \right|$
$\phantom{MN}=\sqrt{2^2+\left(2 \sqrt{3}\right)^2}=\sqrt{4+12}=4$
$PN=\left|n – p \right| =\left|4 \right| = 4$Le triangle $MNP$ est donc isocèle en $N$.