Exercice 2 – 3 points
Commun à tous les candidats
L’objectif de cet exercice est de trouver une méthode pour construire à la règle et au compas un pentagone régulier.
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct $(O~;~\vec{u},\vec{v})$, on considère le pentagone régulier $A_0A_1A_2A_3A_4$, de centre $O$ tel que $\overrightarrow{OA_0} = \vec{u}$.
On rappelle que dans le pentagone régulier $A_0A_1A_2A_3A_4$, ci-dessus :
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$A_0,\:A_1,\:A_2,\:A_3$ et $A_4$appartiennent au cercle trigonométrique ;
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$k$ appartenant à $\{0~;~1~;~2~;~3\}$ on a $\left(\overrightarrow{OA_k}~;~\overrightarrow{OA}_{k+1}\right) = \dfrac{2\pi}{5}$.
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On considère les points $B$ d’affixe $- 1$ et $J$ d’affixe $\dfrac{i}{2}$.
Le cercle $(\mathscr{C})$ de centre $J$ et de rayon $\dfrac{1}{2}$ coupe le segment $[BJ]$ en un point $K$.
Calculer $BJ$, puis en déduire $BK$.
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Donner sous forme exponentielle l’affixe du point $A_2$. Justifier brièvement.
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Démontrer que $B{A_2}^{2} = 2+ 2\cos \left(\dfrac{4\pi}{5}\right)$.
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Un logiciel de calcul formel affiche les résultats ci-dessous, que l’on pourra utiliser sans justification :
1. cos(4*pi/5) $\to \dfrac{1}{4}\left( – \sqrt{5} – 1\right)$ 2. sqrt((3-sqrt(5))/2) $$ $\to \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{5} – 1\right)$ « \sqrt » signifie « racine carrée »
En déduire, grâce à ces résultats, que $BA_2 = BK$.
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Dans \le repère $(O~;~\vec{u},\vec{v})$ donné ci-dessous, construire à la règle et au compas un pentagone régulier. N’utiliser ni \le rapporteur ni \les graduations de la règle et laisser apparents \les traits de construction.
Corrigé
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Rappel
Pour deux points $A(z_A)$ et $B(z_B)$, la longueur $AB$ est égale à $\left|z_B – z_A\right|$
$BJ = \left|z_J – z_B\right|$
$\phantom{BJ }= \left|\dfrac{i}{2}+1\right|$
$\phantom{BJ }= \sqrt{1+\dfrac{1}{4}}$
$\phantom{BJ }= \sqrt{\dfrac{5}{4}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
Les points $B, K$ et $J$ é\tant alignés dans cet ordre :
$BK=BJ – KJ$
$\phantom{BK}=\dfrac{\sqrt{5}}{2} – \dfrac{1}{2}$ car $KJ$ est un rayon du cercle $\mathscr C$
$\phantom{BK}=\dfrac{\sqrt{5} – 1}{2}$
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Notons $z_2$ l’affixe du point $A_2$.
Comme $A_2$ est situé sur \le cercle trigonométrique, $|z_2|=1$.
Un argument de $z_2$ est une mesure de l’angle orienté $(\vec{u}, \overrightarrow{OA_2})$.
D’après la relation de Chasles sur \les angles orientés :
$(\vec{u}, \overrightarrow{OA_2})=(\vec{u}, \overrightarrow{OA_1})+(\overrightarrow{OA_1}, \overrightarrow{OA_2})$
$(\vec{u}, \overrightarrow{OA_2})=\dfrac{2\pi}{5}+\dfrac{2\pi}{5} \quad [2\pi]$
$(\vec{u}, \overrightarrow{OA_2})=\dfrac{4\pi}{5} \quad [2\pi]$
La forme \exponentielle de $z_2$ est donc $z_2=e^{i \dfrac{4\pi}{5}}$
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Par conséquent :
$z_2=\cos\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)$
$B{A_2}^2=\left|z_2 – ( – 1) \right|^2$
$\phantom{B{A_2}^2}=\left|1+\cos\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{4\pi}{5}\right) \right|^2$
$\phantom{B{A_2}^2}=\left(1+\cos\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)\right)^2+\left(\sin\left(\dfrac{4\pi}{5}\right) \right)^2$
$\phantom{B{A_2}^2}=1+2\cos\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)+\cos^2\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)+\sin^2\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)$
$\phantom{B{A_2}^2}=2+2\cos\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)\quad$ car $\cos^2\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)+\sin^2\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)=1$
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D’après \le logiciel de calcul formel (ligne 1) : $\cos\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)= \dfrac{1}{4}\left( – \sqrt{5} – 1\right)$.
Donc :
$B{A_2}^2=2+2 \times \dfrac{1}{4}\left( – \sqrt{5} – 1\right)$
$\phantom{B{A_2}^2}=\dfrac{4}{2}+\dfrac{ – \sqrt{5} – 1}{2}$
$\phantom{B{A_2}^2}=\dfrac{3 – \sqrt{5}}{2}$
et d’après \le logiciel de calcul formel (ligne 2) : $\sqrt{\dfrac{3 – \sqrt{5}}{2}} = \dfrac{\sqrt{5} – 1}{2}$.
Par conséquent $BA_2=\dfrac{\sqrt{5} – 1}{2}=BK$.
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Dans la suite, on note $I$ \le point d’affixe $i$. 1ère étape : Construction du milieu $J$ de $[OI]$.
On construit au compas la médiatrice du segment $[OI]$. Cette droite coupe l’axe des ordonnées en $J$.
2ème étape : Construction du point $K$
On trace \le cercle de centre $J$ et de rayon $[OJ]$.
Ce cercle coupe \le segment $[BJ]$ en $K$.
3ème étape : Construction des points $A_2$ et $A_3$
On reporte la longueur $[BK]$ de part et d’autre du point $B$ sur \le cercle trigonométrique.
On obtient alors \les points $A_2$ et $A_3$ (car d’après la question précédente $BA_2=BK$ et $A_2$ et $A_3$ sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses).
4ème étape : Tracé du pentagone
Le segment $[A_2A_3]$ est un côté du pentagone. On complète la construction en reportant plusieurs fois la longueur $A_2A_3$ sur le cercle trigonométrique.
